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 Note sur un théorème de statique , par le C. Biot. 



On connoît cette proposition due à Leibnitz. : lorsqu'un point matériel est en équi- Soc. 

 libre en vertu des forces qui l'animent, si l'on prend sur la direction de ces forces des 

 droites qui les représentent, le point d'application est placé au centre de gravité de 

 leurs exlreniit.es» 



Ce théorème est renfermé dans un autre qui s'étend à un^ système quelconque de 

 corps dont les distances mutuelles sont invariables, et que l'on peut énoncer de la 

 manière suivante. m . 



Lorsqu'un système de corps dont les distances mutuelles sont invariables, et en équi- 

 libre en vertu des forces dont il est animé , si l'on forme la résultante des forces qui 

 sollicitent chaque point , que l'on prenne sur ces résultantes des droites qui les repré- 

 sentent , et que l'on transporte aux extrémités de ces droites les masses de chacun des 

 corps du système , le centre de gravité des points, ainsi déterminé , coïncidera avec 

 le centre de gravité du système. 



Pour démontrer cette proposition, il faut se rappeler qu'en nommant S S, S, — les ré- 

 sultantes des forces qui sollicitent les corps m m t m 1 — du système, et représentant 

 par s s, s, — des droites prises sur les directions de ces résultantes, l'équilibre du système 

 nécessite les six équations suivantes : 



. = x ra S(£) S o = , m S(|i) ; o = , m S(£) ; 



t «Ts S s\ _ / <^s <?Sn e / ^s <?s\ 



o = I m S(j4-x-) ; 0=SmS ( 2ji - x-); o = 2m S(z-_ y<r J 



dont les trois premières arrêtent le mouvement de translation, et les autres le mouvement 

 de rotation. Le signe Z est employé avec la signification qu'on lui donne dans le calcul 

 aux différences finies, pour désigner l'assemblage des termes semblables dus aux dit- 

 férens corps. (Voyez, la Mécanique analytique, et la Mécanique céleste, livre I.) 



En nommant abc les coordonnées de l'extrémité de la ligne s , prise sur la di- 

 rection de la résultante S , on a 



s a = (x — a) 1 + (y-b) î - T -(x— c) 2 



ïs (x — a) £s y — b £s __ z— • e 



d'où Ion tire ^ = — ^— } j^ — —7- , z " s 



En substituant ces résultats dans les équations relatives au mouvement de rotation, 

 elles deviennent : 



S S S 



p = Zm— (xr— a.) o=Sm—(y — b) o = £m -- ( z. — c) 



s s 



La ligne s n'entre dans ces formules que pour déterminer la direction de la force S , 

 sa longueur est d'ailleurs absolument arbitraire ; on peut donc la prendre telle que 

 l'on ait s=S, et alors les équations précédentes deviennent : 



o = 2m(x-a) o = 2m(y— b) = 2ra(z — c) 



qui peuvent se mettre sous la forme 

 (a) Zmx=2ma z m y = 2 m b s m 7. = 2 m c 



Or , si l'on nomme X Y Z les coordonnées du centre de gravité du système , 



piHM>i»r» 



X= "* Y = 



L z = 



on a ^ _ _^ A — -m S ni 



