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 PHYSIQUE, 



Pœmarques sur les courbes tautochrones > par le C. Biot. 



On nomme courbe tautochrone, celle sur laquelle les oscillations d'un corps pesant Institut »AtJ 

 sont toujours de même durée , quelle que soit leur étendue. Les géomètres ont assigné 

 les cas où le tautochronisme est possible dans les différentes hypothèses de pesanteur 

 et de résistance ; . mais quoique leurs formules eussent toute la généralité possible , ils 

 n'y cherchaient que les tautochrones planes , tandis qu'il en existe , pour chaque loi de 

 pesanteur et de résistance , une infinité qui sont à double courbure. 



L'examen de ces nouvelles tautochrones et leurs rapports avec les tautochrones planes t 

 font l'objet des observations suivantes. 



Si l'on rapporte les points de l'espace à trois coordonnées rectangulaires, xyzj qu'on 



nomme g la gravité qui agit suivant l'élément $z\ qu'on représente par ^ \~ât) 



la fonction quelconque de la vitesse qui exprime la résistance du milieu ; enfin , que 

 l'on nomme u = o , u v = o les équations de deux surfaces sur lesquelles un corps pesant 

 doit rester , l'équation du mouvement de ce corps sera , d'après les principes de la mé- 

 canique analytique , 



x et \ étant deux indéterminées qui disparaîtront à la fin du calcul, et ds l'élément? 

 de l'arc décrit. 



En égalant à zéro les coëfficiens des variations ^ x S'y Sz , on aura trois équations 

 qui feront connoilre les indéterminées aa () et par conséquent les réactions des surfaces 

 sur lesquelles le point doit rester ; il en résultera de plus une équation indépendante 

 de > et de A, qui, jointe aux équations u =s o , u, = o, suffira pour déterminer les va- 

 riables xyz en fonction du tems t. 



Or, on parviendrons à cette équation, indépendante de A et de A, en multipliant les 

 trois équations composantes respectivement par dx dy dz ; ou, ce qui revient au même, 

 on l'obtiendra en changeant dans l'équation générale Sx en dx, Sy en dy, S*z en dz, 

 supposition permise dans le cas actuel, où les équations de condition u = o, u,==o 

 ne contiennent point le tems t. (Voyez à ce sujet la Mécanique analytique , ae. partie.) 



Par ce moyen, les termes A du, ^,du, disparoîtront de l'équation générale, puisque 

 ies quantités du, du, sont nulles, et l'on aura simplement 



dx d'x-l-dy d'y+dz d'z , /ds\. 



Or, on a 



dxd*x-f-dy d*y-f-dz d*z=ds d 2 s 



par conséquent l'équation précédente devient 



^"TT 4 " 8 + ^dt) { } 



Lorsque les équations 11=0, u, = o seront données, elles suffiront, avec la précédente, 

 pour faire connoilre la position du mobile à un instant quelconque. 



Dans le problème des tautochrones , on ne se donne pas ies équations u = o , u, = 0; 

 on demande , au contraire , de les déterminer de manière que le tems t employé à 

 parcourir un arc quelconque depuis le point le plus bas de la courbe, soit indépendanS 

 de cet arc. 



A z 



