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MATHÉMATIQUES. 



Remarques sur les intégrales des équations aux différences partielles , 



par M. Poi s'son. 



L'intégrale d'une équation aux différences partielles d'un ordre quelconque n, doit Soc. PHILO w, 

 en général renfermer un nombre n de fonctions arbitraires • mais il existe des cas 

 particuliers dans lesquels ces fonctions se réduisent à un moindre nombre , sans que 

 l'intégrale perde rien de sa généralité. Ces cas ont lieu lorque les plus hautes différences, 

 relatives à l'une des variables , manquent dans l'équation aux différences partielles- 

 Ainsi, z étant une fonction de x et de y , si l'on a pour déterminer cette fonction, 

 une équation aux différences partielles de l'ordre quelconque n , dans laquelle la plus 



d m z , 

 haute différence de z relative à x , soit -: — — m étant <T n, et qui ne contienne 



d x m 



d"* z 



pas les différences de relatives à y ; la valeur la plus générale de z , qu'on 



d x »•■■•* 



puisse déduire de celte équation , ne comportera qu'un nombre m de fonctions 

 arbitraires. Si donc on obtenoit une intégrale de cette équation , qui renfermât un 

 plus grand nombre de fonctions arbitraires , on pourroit être certain que ces fonctions 

 ne sont point essentiellement distinctes et irréductibles. 



Pour démontrer cette proposition, je suppose la fonction z, développée suivant les 

 puissances de x ; on aura par le théorème de Taylor , z = Z -\- Z' x -j- 



* x i 

 Z" — -f- Z ,u • l. etc. , Z , Z' , Z" , etc. , désignant les valeurs de z , 



2 2. 3 



— , etc. , dans lesquelles on a fait x = o , après les différentiations. Or , 



dx dx x 



dans cette série les m premiers coefficiens Z , Z' , ZH , Z v m *"- r ) ? 



resteront seuls arbitres • car , d'après la forme que l'on a supposée à l'équation qu'il 

 s'agit d'intégrer, il est visible que l'on en peut déduire, par de simples différentiations, 

 les valeurs de toutes les différences de z relatives à x, à partir de celle de l'ordre 



m ; faisant ensuite x as o dans ces valeurs , on aura celles de Z ', Z^ î - > , etc., 



en fonctions des coefficiens Z ,Z' , Z" , Z ' " ~ * ' , et de leurs différences 



relatives à y. 



Prenons pour exemple , de ce que nous venons d'avancer , l'équation fort simple 



Lf == . Son intégrale en série , ordonnée suivant les puissances de x , et obtenue 



dx dy z 



soit par le théorème de Taylor , soit par la méthode des coefficiens indéterminés, 

 d*. 4- y x r . d+. 4"Y xi - d 6 .tyy , 



est z = * y + *• — r— r H -J-r- H 5 ~T"s + etc * ' * y etaul une 



J dy 1 2 dy+ 2. o dy*> 



fonction arbitraire et la seule que renferme cette intégrale. 



L'intégrale de cette équation , ordonnée suivant les puissances de y , seroit Z as 



fx+y t x -f 2- ç > x _|_ JL »' x _f. JL- <$u x H g- — - n" x -f- etc., 



J 1 2. 6 2. O. 4 2.0. 4. 0' 



ç x et t x étant deux fonctions arbitraires. 



