Ces deux intégrales devant être équivalentes, il faut eue jes deux fondions <? .r 

 et ît x se réduisent à une seule, scuis (\u* la seconde valeur de z perde rien de sa 

 généralité j or, c'eût ce qui arrive eu i Bfet, el pourle l'aire voir, il suiiit de développer 

 les fondions f .r et t x suivant les puissances de x , et d'ordonner la seconde valeur 

 de z , aussi suivant les pui-.r.rr • 



En faisant ç x = A ~\- B x -j -j ~ \- ele, , et » x sn .4' -f- £' x 4- 



2 2. Ô 



■ -j- i — rs- -}- ele , ou aura z = 



2 2.3 



C yJ D v 6 



+ etc. , + x 



i. o. 4. 5 2. 5 4. y b 



+ e tc. ) H (C + C'y+ - J 



' 2 \ 2 



La partie indépendante de x, dans cette séné, peut être regardée comme le dé- 

 veloppement d'une fonction arbitraire de y, et en représentant cette fonction par 4 V 



,. .-. d-.^y x 2 - d+. 4"V 



la série entière deviendra s ss 4 y-h-^ ; — -~ -f~ 7 — \- etc. , c'est-à-dire 



^ ûfj* 2 fl^ 



la première valeur de z. 



dz d n z 



L'intégrale de l'équation — — =s -, -•■-, de l'ordre quelconque n, ne renfermerait 



il- JL- CZ «X' 



qu'une seule fonction arbitraire, si on l'ordonnoit suivant les puissances de x , et elle 

 en contiendrait un nombre n , si on la développoit suivant les puissances de y, 



., d+ z di z 



L'intégrale d'une équation du quatrième ordre, comme — ; — - — =5 — -4- 



*■ l dx ï d$* dyi 



d i z 



ne renfermerait que trois fonctions arbitraires , soit que la valeur de * fût 



dxi 



ordonnée suivant les puissances de x , soit qu'elle le fut suivant celles de y. Mais en 

 ordonnant eette valeur, suivant les puissances d'une autre variable , fonction de x et 

 de y, on pourrait obtenir une intégrale qui renfermât quatre fonctions aibitraires. 

 Ces fonctions se réduiraient à trois, par des transformations convenables. 



En général, les équations de l'ordre n , dont les intégrales comportent moins de n 

 fonctions arbitraires , sont de l'espèce de celles qui ne peuvent être intégrées sous 

 forme finie, et c'est parce -que ces intégrales sont sous la forme de séries, qu'il 

 arrive que deux ou un plus grand nombre de fonctions arbitraires, peuvent se réduire 

 à une seule. 



Les remarques que l'on vient de faire , s'étendent aux équations d'un ordre quel- 

 conque, entre u u nombre quelconque de variables. 



