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MATHÉMATIQUES. 



Extrait d'un mémoire sur les questions de maxirais et mi ni mis , 

 relatives aux intégrales , par AI. Poisson. 



I^e mémoire dont on va donner ua extrait, a pour objet principal de présenter, Soc. philo.u. 

 d'une manière nouvelle , la détermination des limites de l'intégrale , dont on cherche 

 le maximum ou le minimum. 



Soit S V d x une intégrale dans laquelle V renferme, outre la variable se', une 

 l'onction y de forme indéterminée , et les coefficiens différentiels de cette fonction ; 

 ensorte que V soit une fonction donnée de x , y , p , q , r, s, etc, si, comme on le 

 fait ordinairement, on représente par p , q , r , s, etc. les coefficiens différentiels de y. 



Si l'on demande le maximum ou le minimum de celte intégrale , relativement à 

 la forme de la fonction y , et relativement aux limites de l'intégrale, on aura d'abord 

 pour déterminer y , l'équation 



N - V- 



d_P 



dx 



dx* 



d^R 



dJP 



-f- etc. 



00 



dans laquelle on a fait pour abréger 



*L- — N J^ — P etc 

 dy~ 'dp 



Eu supposant que V soit une fonction différentielle de l'ordre quelconque n , l'équa- 

 tion {a) sera de l'ordre are, et son intégrale donnera la valeur de y en fonction de 

 x et d'un nombres n de constantes arbitraires, que je désignerai par c , c' , c" , etc. 



La méthode des variations fournit une seconde équation , que l'on obtient en même 

 tems que l'équation (a) , et qui sert à déterminer les constantes c , c' , c" , etc. , et les 

 deux limites de l'intégrale S V dx. INous allons parvenir, d'une autre manière à cette 

 seconde équation. 



Lorsqu'on aura substitué dans V les valeurs de y et de ses coefficiens différentiels 

 en fonction de x , c, c' , c 11 , etc. , l'intégrale S V d x pourra s'effectuer algébriquement, 

 ou du moins par les quadratures , et cette intégrale prise entre des limites quelconques 

 x = a et x := b , sera une fonction déterminée de a, b , c , c' , c" , etc. Il ne restera donc 

 plus qu'à trouver le maximum ou le minimum de S V dx, relativement à toutes ces 

 quantités j problême qui se rapporte à la théorie ordinaire des maxima et des minima 

 des fonctions de plusieurs variables , et dont la solution consiste à former la variation 

 complète de S V dx, pour l'égaler ensuite à zéro. 



' Pour n'avoir pas à considérer à-la-fois la variation des deux limites a et b , j'observe 

 que l'intégrale S V dx , prise depuis x = a jusqu'à x = b , c'est la même chose que 

 cette intégrale prise depuis une limite fixe , depuis x = o par exemple , jusqu'à x 

 = a, moins la même intégrale prise depuis x = o jusqu'à x = b. Je cherche suc- 

 cessivement la variation de chacune de ces deux intégrales : la différence de ces va- 

 riatious sera la variation de SV dx. 



Soit A l'intégrale S V dx prise depuis x = o jusqu'à x = a,; soit B la même intégrale 

 prise depuis x = o jusqu'à x = b. Représentons par V et ï", les valeurs de V qui 

 se rapportent à x =c a et à x = b ; et supposons que a et b deviennent a -\- d a ej 



d A d B 



b + db, la variation de A sera -r— da. eï celle de B sera r~f- d b : et comme 

 1 ' da do 



dSVdx dA dB , 



— j— = V , et par conséquent , — = V et -j-j tst y" , on aura y' da — 



VU db pour la variation de L'intégrale SVdx , provenant de celles de ses limite; s 

 tl à. 



