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Si l'on suppose que les Arbitraires à , c' ', c", etc. deviennent c ■+■ d c , c' «+• d c' , 



dy dy dy 



c" 4- de», etc., la variation correspondante de y sera j^- de + J^T dc •+• JJ] 



d en -f- etc ; et si l'on représente , pour abréger , cette variation par « , on aura 



d " d ~ * 3 i_l etc.. pour les variations de p , q , r, s, etc. Or V ne renferme 

 dx* d x 1 dx'* 



les arbitraires c , c 1 , c" , etc. , crue par suite de la substitution des valeurs de y et de ses 



d V m 

 coefficiens différentiels ; la variation de V ne peut donc être autre chose que j- 



d V d d F d 2 a da> d * a 



+ %iî - S? h + f • c ' esi - à - fc N - + p zr + ?£r * etc - ■> p " 



conS équent la variation de S Vdx, provenant de celles des arbitraires c, c', c'f,etc. sera 

 S ('jVai-t-P-T--; -f Qj~T~ *+■ etc ' ) dx ; et si Ton convient d'accentuer d'un Ira 1 

 et de deux traits , les quantités qui se rapportent aux limites a et b de celle intégrale , 

 on parviendra , au moyen de l'intégration par parties , à la mettre sous cette forme. 

 dQ' v de' , v 



* ' ( p ' - -Ta + ■*■ ) + 77 . ( V - ? te - ) + ^ c ' 

 - *" ( p " - 54" + e ' c ' ) ~ Tb C C - e/c - ) - e ' c ' 



-^O-^-^^ 1 - e ' c - ) *** 



L'intégrale qui entre dans cette variation de 5 Vdx , est identiquement nulle , puisque 

 la valeur de y qu'on est censée avoir substituée dans V, a été tirée de l'équation (fl). 

 D'ailleurs y étant une fonction de x , c , c' , c" , etc. , sa variation complète esl dy = 



pdx ■+• ~x~ ûîc + -77 de 1 ■+• etc. , ou simplement dy = pdx -f- * ; on a donc 



rf a d * à> 



* — dy — pdx, -j— ; = dp — qdx, -r— zz=. dq — rdx, etc. Donc on aura , 



en égalant à zéro la variation eomplèle de S Vdx, l'équation 

 V da -+- C dy' — p< da\ (V — f*2' -f- efc W ( rfp' — 7'<fa) (Q' — efcWefc. 



—t'idbetc — ( <ly« — p" (A ) (P" — 'iS'-f-efc) — f dp» — 7"^ ) (0< - etc Y etc * 



Cette équation et les équations de condition qui peuvent exister entre les quan- 

 tités a , y' , p', q' , etc. , b , y*i , p» , q" ,etc. , serviront à déterminer les constantes arbi- 

 traires , contenues dans l'intégrale de l'équation («) , et les limites a et b de l'intégrale 

 S V dx. Elle est absolument la même que celle qu'on trouve ordinairement en faisant 

 varier x et dx dans l'intégrale S Vdx. Mais on ne peut guère avoir une idée nette 

 de la variation de x et de dx , qu'en supposant tacitement que x et y sont des fonctions 

 d'une troisième variable. On tombe alors dans le cas où il existe sous le signe intégral 

 deux fonctions indéterminées d'une même variable , on trouve pour déterminer les 

 valeurs de ces fonctions qui répondent au maximum ou nu minimum de S Vdx, deux 

 équations, et l'on fait voir que ces deux équations se réduisent à une seule, que nous 

 avons désignée ci-dessus par l'équation (o). Cette marche est moins directe que celle 

 qu'on vieul d'exposer; mais elle offre un mécanisme de calcul, précieux à beaucoup 

 d'égards, et qu'on peut appliquer aux combinaisons d'intégrales les plus compliquées. 

 ( Voyez, pour cela le Traité de calcul inU-'gral de M, Lacroix. ) 



