SÉANCE DU 29 JUIA 1908. l38] 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les surfaces réglées. 

 Note de M. A. Democlin. 



• Envisageons une surface réglée assujellie à la seule condition que son 

 cône directeur ne soit ni un cône isotrope, ni un plan isotrope. Une géné- 

 ratrice variable^' de cette surface admet, en général, un point central O; 

 attachons-lui un trièdre trirectangle Oxyz défini comme il suit : O:; coïn- 

 cide avec g et le plan .rOs touche en O la surface. Désignons, suivant 

 l'usage, par ;, Tj, 'C, /j, </, /• les translations et les rotations du trièdre; ce 

 sont des fonctions d'une variable Z; deux d'entre elles sont nulles, à savoir q 

 et r^. Pour que la rotation r soit nulle, il faut et il suffit que la surface ait un 

 plan directeur. 



Les quadriques qui se raccordent à la surface réglée suivant la généra- 

 trice g sont définies par l'équation 



2 xr = A.Z-+ 2B jjj' + Cj- H- ihy, 



dans laquelle A, B, C sont des paramètres arbitraires et h le paramètre de 

 distribution de g. 



La quadrique osculatrice répond aux valeurs suivantes de A, B, C : 



A — '■ !_ ^ R _ ' "'''' r — '■ 



]> ^ 2t (Il p 



Supposons d'abord r=^o\ alors cette quadrique a un centre C dont les 

 coordonnées (a;(|,_}'„, s„) ont pour valeurs 



i I dli 



x,=-.o, y,= p =o=---^- 



On conclut de là que le centre de la quadrique osculatrice appartient à la 

 caractéristique du plan asymptote de g. 



Les composantes Y^^, V^, , V,^ de la vitesse du point C sont données par 

 les formules 



Si Ton désigne par — P- le produit des carrés des demi-axes de la qua- 

 drique osculatrice, on peut écrire P =ylli. 



La caractéristique de la quadrique osculatrice se compose de la généra- 



