j382 académie des sciences. 



trice g, comptée deux fois, et de deux génératrices g,, g. qui coupent g 



aux points flecnodaux F,, F,. Les z de ces points sont les racines de 



l'éciuation 



On déduit do là une propriété générale des surfaces réglées : 

 La tangente, en C, à la trajectoire de ce point, passe par le milieu du seg- 

 ment F, F.. 



Voici maintenant quelques conséquences de l'équation (i) se rapportant 

 à des surfaces réglées particulières. 



1. Pour que, sur chaque génératrice g, un des points flecnodaux soit à l'in- 

 fini, il faut et il suffit que le point C appartienne à l'arête de rebroussement de 

 la déi'eloppable asymptote. Cette condition est équivalente à la suivante: le 

 produit des axes de la quadrique osculatrice est constant . 



Les surfaces considérées s'obtiennent par quadratures. Le cône directeur 

 peut être pris arbitrairement; soient (c, c, c" ) les cosinus directeurs d'une 

 o-énéralrice de ce cône. Les coordonnées (X, Y, Z) du point i) sont défi- 

 nies par des formules telles que la suivante : 



(2) \^ 



de' ,f/c"\P^V^ ^ 



dt. 



W désigne le <,vronskien de e, c', c"\ '(, est arbitraire et l'on a posé 



.,, [de Y fdc'Y I de" 



dt I \ dt ! V dt 



il. Pour que, sur chaque génératrice g^ les deux points flecnodaux soient à 

 l'infini, il faut et il suffit que le centre C de la quadrique osculatrice soit fixe. 



Les surfaces réglées dont la ligne flecdonale est tout entière à l'infini ont 

 été considérées récemment par M. Tzitzéica {Comptes rendus, 9 déc. 1907). 

 Ce géomètre les a définies {Itendiconti de Palerme, 1908) par des formules 

 où figurent trois solutions linéairement indépendantes d'une équation linéaire 

 du troisième ordre dépendant d'une fonction arbitraire. On peut les repré- 

 senter |)ar des formules ne renfermant que des quadratures. Il suffit en 

 ellcl, pour o])tenir leur ligne de striction, de remplacer, dans les équations 



