l384 ACADÉMIE DES SCIEXCI'S. 



l'oiir rin 'inic surface refilée à plan direcltur soi/ un pnraholoïdc, il faut el il 

 suffi (jiw les axes de ses paraholoïdes osculaleurs soie/il parallèles et qu'on 

 ait, pour toute génératrice, \ // cot to = consl. 



ANALYSE iMATHÉMATlQlE. — Sur les produits canonirpies de i^enre infini. 

 Note de M. Arxaud De.vjov, présentée par M. Poincaré. 



J'ai indique dans une précédente Noie (Comptes rendus, i3 janvier 1908 ) 

 cojiiinenl il me paraissait convenable de définir les produits canoniques de 

 génie infini el, en tous cas, comment il faut choisir rexposanl de conver- 

 gence altaclié à une suite de modules /■, , /%,, .... r„, . . ., pour que les fonc- 

 tions entières a\ant pour zéro des nombres tloiil les modules l'orment cette 

 suite, aient uueliniile supérieure la plus |)et.ile possible. 



Je veux taire connaître ici les études initiales sur les facteurs primaires 

 ([ui m'oi\l permis de l'ésoudre ce problème, i^éservant les réponses à quelques 

 cjuestions essentielles concernant les produits canoni(jues tels qm^ je les 

 di'fiuis. 



I. Etude des ma rima et des minima d'un fadeur primaire. — Soit 



/= Mc'", w |)osilif, réel, ( I — t)e ' >' = e 



\ oici les pi'opriéti's principales des maxima el minima de l (puiud a 

 reste conslanl. 



i" Répartition. — Les maxima et minima correspondeni, pour chaque va- 

 leur positive de «, aux valeurs de données par sin (/> -h i ) — // sin/jO =; o. 

 Pour se borner aux valeurs de non extérieures à Fintervalle o à r. (les 

 autres en sont symétriques par rapport à o"), il va une valeur de et une 



seule dans chacun des intervalles — à ::(//= i, 2, ...,/;— i), uneva- 



p /' -'^ ' ■ 



leui- rnlic o et — - — , si u <' i -\ — ! enliu = o, = -. 



,,,■,/■ , I 1 ^ ■ • h T. Il -i- \ 



•1 évolution. — La valeur de (lui reste comprise entre — et ~ 



(o <;/(<;/>) est telle ([ue le point //, décrive une branche de courbe 

 s cloiguaut à l'infini, sur hKpielle il va un maximum |)(iur// pair l't un mi- 



mmum pour li impair, ciiaiix a I mleurale curvilujiir / //' ■ — hrdii, prise 



le long de cette l)ranclie. (Jeci est encore vrai pour // = ()( maximum et 

 branche linie 1, u'fi -\ 



