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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un SYSlème différentiel du second degré. 

 Note de M. L. Schlesingeu, présentée par M. H. Poiiicaré. 



Soit ( r,7() la matrice intégrale du système différentiel linéaire et cano- 

 nique 



/) = I V = 1 



(A -iT^ — z^ypi^ — -^ /, = i,2, ...,/o 



(jui, pour j- = iC(,, se réduit à la matrice unité (o,^.), et supposons que les 

 substitutions fondamentales (c^^'), cori'espondant aux coupures (a.,, ^) = 4, 

 soient indépendantes des affixes des points singuliers a,, . . . , a^, considérés 

 comme paramètres variables. Il s'agit d'étudier les y,vt et les A^.^' en tant 

 que fonctions des a,,\ c'est ce que je nommerai le problème de Fuchs. Les- 

 dites fonctions pourront être définies comme il suit : si l'on fait décrire 

 aux a,, . . . , a, des chemins arbitraires, tels que jamais deux de ces points 

 ne se rencontrent, et qu'aucun d'eux ne coïncide avec x^ ou avec x, et si 

 l'on suppose que, durant la variation des «.;, les coupures 4 se déforment 

 comme si elles étaient des fils flexibles et extensibles, alors, pour chaque 

 situation des a,, et des /v, les Vm- subiront les substitutions constantes {à-'f.') 

 lorsque la variable x franchit les coupures 4, et ils vont constituer une 

 matrice intégrale d'un système différentiel de la forme (A), aux résidus A^jJ.', 

 et pour lequel les racines r^' des équations déterminantes sont fixes. Soit 

 x = x\ a.,=^a'^ un système de valeurs finies et dilTérant entre elles pour 

 lequel aucun cas des a'^ ne coïncide avec x„ ; les fonctions j^ seront holo- 

 morphes au voisinage de x = x\ a., = a[,, et les fonctions A^^.' seront 

 holomorphes au voisinage de a^=a[, (v = i, 2, . . . , ci). Chaque système 

 de chemins fermés décrit par les a^, c'est-à-dire chaque système de che- 

 mins pour lequel les points extrêmes sont les mêmes que les points de 

 dépari, peut être composé des chemins qui font changer leur place à deux 

 points voisins tels que av, av+, ('). 



Si, après un tel changement, on rétablit les coupures primitives, on 

 aura, auprès des coupures /^, 4+,, ou les substitutions {c%-^'^), respective- 

 ment (cr')> (^m)> «r")"\ ou les substitutions (4;,')"\«r'). {^>^)' ''^^- 

 pectivement (c-'^^J). On peut donc assigner, pour chaque système de chemins 



(') ^'oil•, par exemple, Hurwitz, Mathem. Anna/en, l. XXXIX 



