SÉANCE DU 20 JANVIER 1908. 107 



fermés des «,, ..., a„, les substitutions qui correspondent aux coupures 

 primitives; et comme, d'après le problème de Riemann, on sait construire 

 toujours un système différentiel (A) pour lequel la matrice intégrale, se 

 réduisant à (0,/,/) pour a; = a?(,, subit des substitutions données auprès des 

 coupures /,,..., /ç,, et pour lequel les racines des équations déterminantes 

 sont fixées, nous savons indiquer, pour cliaque système de chemins fermés 

 des a,, . .., a,, le changement correspondant des y,/, et des A^';^!. 



J'ai démontré (Journal de Crelle, t. I29j rjue les y,/,, comme fonctions de 

 la variable ai, satisfont au système différentiel 



ï=ly"(J^^^^ (^='- ")' 



da 



où les B^'^. sont indépendants de x. Soit «> " une valeur finie de a-^, différente 

 des a^^h ^ A) et de x^,, les B^J^ seront holoniorphes au voisinage de a>,= a^"' ; 

 il existe donc une matrice intégrale («,7,) du système différentiel 



da-,. ^ <" !'''■ 

 ,, = 1 



se réduisant à (0,,,) pour «>, = «>"'. Posons 



les Zi^. vont satisfaire aux systèmes différentiels simultanés 



"• ' dx ^ '' ^ j- — «^ 



,. = 1 V = 1 



^> dax-Zi-"a,-j^ 



/' = ' 



et aux conditions initiales :;/a = ^ik pour .r = a7„, a-j, = ai\ Des conditions 

 d'intégrabilité on tire le système différentiel du second degré 



dO/)l ^ y / )^, Y Cm _ V ^^''> G"" 



\ da;, ^1 "'jimiai — a., .^ ai— a,, '"' 



/■ = 1 \ V ^ ), V ^ >. / 



5^ = V (G/,; -S^ - -^^Ù (V ?^ >.)• 



dai >md\ " a,, — «X «-/—«A / 

 /, = i 



(3) { '• = '' ^^'- 



