SÉANCE DU 20 JANVIER 1908. I09 



qu'on en rencontre en Mécanique céleste, on est amené, lorsqu'on veut 

 étudier certaines propriétés des intégrales, à considérer des équations fonc- 

 tionnelles de la forme 



(0 



^{x -+- lia) + A,9[a.-+ {« — i)a] 



kJ{x) = o{x); 



G est la fonction inconnue, A,, Ao, ..., A„ et cp des fonctions périodiques 

 données de période b (b incommensurable avec a). 



Je me propose d'indiquer dans cette \ote quelques propriétés de ces 

 équations au point de vue de la périodicité des solutions. 



Je rappellerai brièvement quelques résultats généraux connus et d'ail- 

 leurs faciles à établir. Soit d'abord 



(2) 



6{x -h na) -h A.i9[x -h{n — i)ti]+...-{- A,:0(x) = o 



une équation homogène à coefficients quelconques, fixes ou variables, pério- 

 diques ou non; en appelant système de solutions indépendantes un système 

 0,, Oo, . . ., 0„, pour lequel on a 



e,(x) 



On[x+ a) 



7=0. 



5,[j- + (« — i)«] ... ô„| ;j- + (,i_i)rt] 

 la solution la plus générale de (2) est donnée par la formule 



(3) 9^^,S, + },,62-h...4-X„Ô„, 



dans laquelle A,, A^, ..., X,, sont des fonctions périodiques arbitraires de 

 période a. Si l'équation possède un second membre comme l'équation (i), 

 on peut adopter pour la solution générale ^{x) la même forme (3), X,, 

 À,, . . ., A„ étant des fonctions non plus périodiques mais assujetties à véri- 

 fier les équations 



[>i, (x + a) — >., ( j;) ] 61 ( j: + pa) -h . . . -j- [/,„ ( x + a) — /„ (x)] 6»,, (.r +/)«) = o 



[p=zi,-2, ...,/i — i), 



iMx -+- a) --l.,{x)'\Q^{x -^ na) + . . . -^ [l„(x ^ ci) -}.„(x)]Û„{x -^ „a) = o{x), 



c'est-à-dire 



'ki(x-ha) — li{x) =i|;,(.r) 



les (j; étant ainsi des fonctions connues. 



(«■ = 1, 2, ...,//), 



