110 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Soit maintenant 



(4) 9(.r + /i«) + «1 6i[.r-j- (/i — !)«] -1-. . . + r/„ 9(.r) = o 



une cqualion homogène à coefficients constants. En désignanl par p,, 

 0.,, . . ., 0^ les racines distinctes de Téquation caractéristique 



(5) F(p)=:p"+ a,p"-' + .. .+ a„—o 



et a,, a.,, . . ., «/, leurs degrés de multiplicité, la solution générale est de la 



forme 



e ( .r ) = p, i'\'- -+- p., /'V -H . . . + P,, Z'-»-^, 



P,, 1\, ..., P/, élaut des polynômes entiers en x de degrés a, — i, a^ — i, .... 

 a./, — I dont les coefficients sont des fonctions périodiques arbitraires de pé- 

 riode a. 



Nous nous plaçons, dans la suite, dans l'hypothèse où l'équation carac- 

 téristique (5) n'admet aucune racine de module égal à l'unité. Dans ce cas, 

 on établit sans peine que l'équation (4 ) n'admet aucune solution G(.j;-) pério- 

 dique de période b {^ ). 



Ceci posé, considérons l'équation 



(6) B{x + na) + ay 9[,r + (« — i )"] + • • .+ a„0{x) = <a{x), 



Œ)(.'r) désignant une fonction donnée de période b. Celte équation admet-elle 

 une solution ^{x) périodique de période //? Supposons provisoirement que 

 l'équation caractéristique F(p) = o n'ait que des racines simples. La solu- 

 tion générale de (6) peut se mettre sous la forme 



(7) 6{x) = l,{x)l^^--\- . . .+ l„{.r)t',.^, 



les A étant assujettis à vérifier les équations 



}>,{x4-rO-X,(.r)= '. 9(.r)/-'-.^ ((• = !, 2, ..., n). 



pi'- \Pi} 



(') CeUe propriété est du reste plus générale : si l'équalion caractéristique (5) 

 n'admet aucune racine de la forme 



p = ces 2 A t: j H- ' sin 2 />■ t: -T > 

 l'équation fonctionnelle (4) n'admet encore aucune solution périodique de période b. 



