SÉANCE DU l3 JANVIER 1908. 63 



des arguments des zéros dont les modules seuls nous sont donnés. Ces ar- 

 guments variant de toutes les façons possibles, M(r) possède, pour charpie 

 valeur de /•, une certaine limite supérieure P(r), qui ne dépend que de la 

 fonction /j„ choisie et de la suite r„. 



L'exposant canonique sera déterminé par cette condition que cette limite soit 

 la plus petite possible. 



Soient h défini par r^^r<^ r,,+f , , 



P,(r) et I\(r) respectivement les limites supérieures de |F,(s)| et de 

 I ¥.i{z)\ sur un cercle de rayon r, en sorte que P = P, Po. L'ordre de gran- 

 deur de P est le plus grand des ordres de P, et de P^. 



Or, partant d'une fonction p„ arbitraire, si l'on augmente />„, il se trouve 

 que P, augmente et que P2 diminue; si l'on diminue/?,,, P, diminue et P.^ 

 s'accroît. 



1,^ exposant canonique sera donc évidemment celui qui donne aux deux 

 produits P, e/ P, le même ordre de grandeur. 



Les auteurs qui se sont occupés des fonctions de genre infini ont, en géné- 

 ral, eu pour principal souci de réduire le reste Pj de façon à le rendre 

 aisément limitable (cela, en augmentant la convergence de la série, c'est- 

 à-dire />„) ; mais la valeur de P, rend alors trop fort l'ordre de ¥{z). 



Il ne paraît pas possible, sans autre hypothèse sur /•„ que sa non-décrois- 

 sance, de fixer /)„ en toute généralité; r„ étant quelconque, nous considére- 

 rons une fonction cp(r) croissante, telle ipie !p(/-„)>n (le signe = pourra 



être pris pour une infinité de valeurs de n), et telle que "j^ "^^ ^ ^ = ^(r) 



ne soit jamais décroissante. Ces hypothèses sont les plus générales qui aient 

 été faites dans les divers travaux sur les fonctions de genre infini. 

 Avec celle seule hypothèse, on peut dire que, sensiblement, 



D'une façon précise, si p„ est la partie entière de (i ■+■ cc)y(n) (a fixe, 

 arbitrairement petit), les limites supérieures sont £cp(r)'"^°' pour logP, et 



^- — pour logPj (h fini, i infiniment petit^. P, est d'ordre supérieur à P^. 



Si pn est la partie entière de /.('"n) + °') ^^ produit Pj est convergent, et 



