SÉANCE DU l3 JANVIER 190S. 61 



Admettons que /(t) présente pour t = a un infini ne détruisant ni la 

 continuité, ni la formule (2); je spécifie même que le rapport de/(a — 0) 

 à /(a + ) tend vers i quand tend vers zéro. 



Étudions l'expression (3) où nous ferons tendre /( vers l'infini et t vers a. 



Les intégrations en v ne sont à considérer qu'entre — s et -h e; les autres 

 parties sont finies et donnent des résultats nuls quand on les divise par/(a). 

 Changeant r en — i> de — £ à zéro, il ne reste que des intégrales on c de zéro 

 à £ contenant le rapport de/(T ± 2c') &/('). Si l'on intègre de £'<£ à £, on 

 peut supprimer ledit rapport sous les intégrales en écrivant au dehors celui 

 de/(T ± 2r, ) à /'(t ), y] étant compris entre i' et t. Quand £' tend vers zéro, 

 il en est de même de y] et, comme d'autre part t tend vers a, le rapport 

 précédent diffère de i d'aussi peu c[u'on le veut. 



En résumé, et ceci est pour moi un premier théorème fondamental, l'ex- 

 pression 



(4) li"' ;^ '7^ 



ne défiend pas de f. 



Il n'est pas impossible de déterminer complètement (4) en étudiant les 

 intégrales doubles qui précèdent et qui généralisent l'intégrale simple de 

 Dirichlet. Mais on peut aussi tourner la difficulté en profilant de l'invariance 

 de (4) par rapport à/et calculer cette expression dans le cas d'une fonction 

 sommatrice particulièrement simple. Je prendrai 



sin ( 2 /« -h I ) — 



1 2 



/(t) := 1 =: 1 + COST -|- . . . + COS/iT, 



2 . T 

 2S1II - 



2 



l'entier n croissant indéfiniment. La série ainsi obtenue, considérée d'ordi- 

 naire comme indéterminée, n'est cependant infinie que pour t égal à zéro ou 

 à 27Ï. De plus, ces deux infinis peuvent être assimilés à un seul en roulant le 

 plan réel de façon à en faire un cylindre où les ordonnées d'abscisses zéro 

 et 2ir seraient confondues. L'expression (4) devient alors 



«0 -t- •?! COS T -I- .52 COS 2 T + . . . , ■ S„ + S^ -\- . . . + S„ . ^ 



hm — = nm — 



T = I + COST + C0S2T 



Or, dans les Malhematische Annalen, t. I^VIII, iQ^i, M. Fejér a établi 

 que cette dernière limite était égale à ^\0). 



