6o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



instant de calme relatif, on a entrevu la goutte noire. Sur le Soleil, le disque 

 de la planète a paru parfaitement rond, uniformément noir et beaucoup 

 plus noir que les noyaux des taches qui formaient alors un groupe visible à 

 l'œil nu; jamais il n'a été possible d'apercevoir ni auréole, ni point brillant. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la sommabiUté des séries de Foitrier. 



Note de M. A. Buhl. 



Dans les Comptes rendus ( \'\ octobre 1907 ) et dans le Bulletin de M. Dar- 

 boux (décembre 1907) j'ai donné une formule de sonimabilité concernant 

 la série de Laurent. Or on montre, dans tous les Traités d'Analyse, qu'une 

 substitution de la forme = = e'" permet de passer de la série de Laurent à 

 celle de Fourier. On peut donc, de la formule de sommabilité concernant 

 la première série, déduire une formule concernant la seconde. Je me borne 

 à rappeler ce fait intuitif et vais ici établir directement, dans le champ réel, 

 une formule de sommabilité très générale concernant les séries de Fourier. 



Soient les deux développements 



(1) F(e)=— / F(0^? + -V/ ¥{l)cosn{l-B)dl 



(2) f(r)^^J A^)dK+^_yf /(Ç)cos«(Ç--)r/;. 



Soient s„ la somme des (n-hi) premiers termes de (i) et c„ le (n -+- 1)'™<= 

 terme de (2). Par des transformations élémentaires, on trouve que l'expres- 

 sion 



(3) .^i^; 



est la somme de deux intégrales doubles qui, si Ton pose 



1 = 9 ■+ 2U, Ç=:T+ 21', 



deviennent 



T 







/' ■/' ^ F ( e + 2 ,0 -^^ \+ ' " ^ ''" "'"-'•' -"■ I " + ( " + ' ) ' " - '■ )] ,/,, dv. 



/(-) Sin(M — l'J 



