SÉANCE DU 29 JUIN 1908. 1387 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation aux dérivées partielles des mem- 

 branes inbrantes. Note de M. Saniei.evici, présentée par M. E. Picard. 



M. Picard a montré (Annales de V École Normale, 1907) comment Ton 

 pouvait ramener à une équation de Fredliolm l'intégration de l'équation 



(,) Ac + /.A(.r,j)c = o, 



les dérivées normales intérieures sur le conlour C devant vérifier l'une des 

 relations 



(a) -; /.r = a(.ç) ou — - = o(.v) 



^ ' du ' (In 



\'^{s) est une fonction donnée sur C et k unr constante positive] ('). 



Voici une autre méthode qui met en évidence, dans le second de ces 

 problèmes, les diverses circonstances qui peuvent se présenter autour de la 

 valeur singulière A := o. 



Soit V(x, y; H, r; ; k) la fonction de (jree/i généralisée qui vérifie sur le 



contour la condition -; kV = o. L'intégration de (i) moyennant la pre- 

 mière des conditions (3) se ramène à l'équation intégrale 



r(.r, r)- -^ / ("?(./•, r; c,-f,; /.) A(:, r,) r(ï, r;) rf;r/r, = (/(.r,.r ; A'), 



u(x,y:, k) étant la fonction harmonique satisfaisant sur C à la condition 



'-.- — kii = Z'(s'). La valeur À =0 n'est pas singulière et i>(œ,y) est lioio- 



morplie autour de ce point. On établira l'existence des constantes caractéris- 

 tiques, quel que soit d'ailleurs le signe de A(a7, j), par le procédé que j'ai 

 indiqué dans ma Note précédente (Comptes rendus, 1 5 juin 1908). 



Passons maintenant au second problème. Les fonctions V(x^y\ ?, r^\ k) 

 et «(a-, y; k), méromorplies en ^, admettent le pôle simple k = o. Dès lors, 

 on est conduit à poser, en désignant par L la longueur de C, 



r(x,r; t,r); '^)=|^ + r'(.r,/; ï, yj; k), 

 u{x,y; /.)=— ^ j c^(s),fs-h u'{x,y; /,), 

 les fonctions F' et u' étant holomorphes pour k = o. 

 (') Voir aussi la Thèse de M. Bryou llevwnod. 



