SÉANCE DU 20 JANVIER 1908. III 



Pour que 0(.r) soit périodique, les À doivent, en outre, satisfaire aux 

 équations 



À,(xH-6)/''/'— Â,(a-)=o (( = 1, 3, ..., n), 



de sorte qu'en posant 



>„= p,(.r )/-'■,- 



les [j., seront des fonctions périodiques de périodes b assujetties à vérifier les 

 relations 



p.i{x-i-a)—piiJ.i{x-)= frr^y 



équations faciles à résoudre lorsque | p, | ^ i . En posant 



F(p)=P(p)Q(p), 



P(p) = o représentant les racines a,, a^, ..., a^. de module inférieur à t, 

 Q(p) = o les racines [3,, [3^, . . ., [i/ de module supérieur à i, on aura llnale- 

 ment, pour l'expression de la solution périodique 0(a;), 



A- /. 



9(j.-) = o{.v — a)y\ !,,,s +9(-^ — 2«)V— - 



1 



1 

 /, / 



I 1 



le second membre étant ainsi la somme de deux séries absolument et uni- 

 formément convergentes pour l'ensemble de toutes les valeurs réelles de .r. 

 Ces séries restent convergentes lorsque plusieurs racines de l'équation 

 caractéristique viennent se confondre et représentent encore la solution 

 périodique de l'équation (6). 



Cette deimière ne peut avoir d'ailleurs d'autre solution périodique de 

 période b, car l'équation sans second membre ne peut en admettre aucune. 



