l6!> ACADÉMIE DES SCIENClîS. 



simple, à savoir : h rapport — entre la courJxtre totale et la quatrième puis- 

 sance (le la dislance du centre au plan tangent ne change pas le long d'une 

 génératrice quelconque de la surface. 



Cela étant, considérons une surface quelconque 1 et attachons à chacune 

 de ses lignes asymploviques la surface réglée engendrée en menant par cha- 

 cun de ses points la tangente à l'autre ligne asjauptotique qui y passe. Dans 

 le cas où tontes ces surfaces réglées sont à centre commun, et seulement dans 

 ce cas-là, la surface i considérée est une surface S. C'est Là la définition 

 affine que je voulais obtenir. J'ajoute que dans ce cas les surfaces réglées à 

 centre sont elles-mêmes aussi des surfaces S. 



2. Je me propose maintenant de compléter le résultat précédent, en fai- 

 sant voir qu'une surface S ne peut pas avoir de point flecnodal à distance 

 finie. Considérons en effet un point Oecnodal M de la surface. La tan^^ente 

 fiecnodale est tangente à une de ses asymptotiques qui passent en M, par 

 conséquent elle est tangente llecnodale pour la surface réglée attachée à 

 cette asymptotique. Or nous avons démontré que cette dernière surlace 

 réglée est une surface S et que par suite elle n'a pas de point flecnodal à 

 distance finie (Comptes rendus, 9 déceuibrc 1907); donc le point M ne peut 

 pas se trouver à distance finie. 



3. Il est intéressant de voir que, en prenant pour lignes coordonnées 

 u^ const., t' = const., les lignes asymptotiques d'une surface, ses lignes 

 flecnodales s'o!)tiennent d'une manière remarquablement simple. Les coor- 

 données X, y, z d'un point de la surface vérifient les équations 



Les deux lignes flecnodales sont alors déterminées par les deux relations 



6 = 0, o" = o. 



Dans le cas où la surface est simplement réglée, on a b^o oua"^o et 

 alors une des lignes flecnodales disparait. Dans le cas où la surface est dou- 

 blement réglée, c'est-à-dire une quadrirpie, on a b=sa"^^o et les deux 

 lignes flecnodales deviennent indéterminées, ce qui était d'ailleurs évi- 

 dent. 



