SÉANCE DU 27 JANVIER 1908. 1 67 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation -j^, -i = o. Note 



de M. Eugexio-Elia Levi, présentée par M. lùiiile Picard. 



Dans une récente Communication, M. Holmgren(') donne un certain 

 nombre de résultais sur l'équation de la chaleur y4 ~ T" — 'S dont une 



partie ont une grande ressemblance ( même pour la méthode de démonstra- 

 tion que M. Holmgren parait avoir suivie) avec ceux que j'ai obtenus 

 de mon côté et que j'ai publiés, trois mois avant la Communication de 

 M. Holmgren, dans les Rendiconli delta R. Accademia dei Lincei ('-). C'est 

 pourquoi je demande la permission de rappeler ici les principaux de mes 

 résultats. 



•J'ai démontré qu'étant donnée une courbe ouverte 5, dont les deux 

 bouts A et B se trouvent sur une même droite caractéristique AU, et qui 

 renferme avec AB une aire g située au-dessous de celle-ci, il est toujours 

 possible de déterminer en a une fonction (et une seule) satisfaisant à l'équa- 

 tion -r-^ y =0 et prenant sur s des valeurs assignées à l'avance. Je 



réduis le problème à la résolution d'une équation intégrale de M. Fredholm 

 et je fais remarquer qu'elle jouit de propriétés tout à fait analogues à celles 

 de M. Yolterra ('). 



.J'ai aussi donné, pour résoudre ce problème, une autre méthode, qui se 

 rattache à la méthode des images. Va j'ai montré qu'on a des résultats sem- 



blables pour l'équation y^^ — -r^ =y(.r, >-), et que, lorsqu'on suppose tjue 



la fonction f{x,y) est analytique par rapport à la variable x, toute solu- 



(') E. tloLMGBEN, Sur r équation -— ^ = -^ (Coinntes rendus, t. CXLV, 3o dé- 



ô-i'' Oy 



cembre 1907). 



(^) E.-E. Levi, SuW ei/uazione del colore {Rendiconti delta R, Accademia de 

 Lincei, VoL X\I, fasc. 7) (Communicalions parvenues à l'Académie avant le 6 oc- 

 tobre 1907). Un Mémoire plus étendu paraîtra prochainement; dans ce Mémoire, j'ai 

 même introduit quelque simplification dans les formules. 



(') Dans une Note qui était déjà rédigée lorsque jai eu connaissance de la Com- 

 munication de M. Holmgren, et qui paraîtra prochainement, je montre comment ma 

 méthode s'appli(iue aisément au cas où les données sur la courbe s sont des types 

 que M. Holmgren indique avec 1° et 3°. 



