SÉANCE DU 27 JANVIER 1908. 169 



ÉLASTICITÉ. — Sur la théorie des corps minces. 

 Note de MM. Eugè.ve et François Cosserat. 



Le problème général de la théorie de l'élasticité consiste à trouver 

 trois fonctions a, v, »-, vérifiant les équations 



- àB .. . : dB . . . .. dH „ 



^ ' ' rfj- ' ày ' ()z 



et des conditions à la frontière qui assurent l'unicité de la solution. Pour 

 résoudre ce problème, nous avons autrefois proposé de considérer u^ f, w 

 comme des fonctions de 07, y, s et de ^. Un peut encore adopter un autre 

 point de vue très important et regarder «, r, (v comme des fonctions de a;, 

 j, z et d'ww ou plusieurs paramètres géométriques entrant dans la définition 

 de la frontière. Ce nouveau problème d'Atialyse conduit en particulier, 

 dans le cas de la déformation infiniment petite auquel nous nous ijornerons 

 dans cette Note, à la théorie des corps minces, dont Factualité et l'intérêt ont 

 été renouvelés par de récentes discussions entre les savants anglais. 



Envisageons un cylindre droit, dont les bases sont dans les plans paral- 

 lèles s = + A, s = — A; </, (', w seront des fonctions non seulement de x, 

 y, z, mais aussi de A; de même les valeurs //„, i'„, ii'o de //, c, »> pour 3 = 

 seront des fonctions de x, y et de h. Le but poursuivi par Poisson et 

 Cauchy, dans leurs recherches sur les plaques minces, se présente alors de 

 la manière suivante : ils se proposaient de déterminer les premiers termes 

 des développements (qu'ils supposaient possibles), suivant les puissances 

 entières et positives de h et de z, des fonctions u, v, n- et de leurs dérivées 

 premières, et en particulier les premiers termes des développements de Ug, 

 c„, Wa suivant les puissances entières et positives de h:, ils admettaient d'ail- 

 leurs qu'il devait suffire, pour cette détermination, de tenir compte des 

 données d'une manière partielle; Poisson se servait des résultantes sur la 

 surface latérale, Cauchy des valeurs le long de la section moyenne. 



Désignons avec Kirchhoff par ix„, y» les coordonnées d'un point du 

 contour des bases du cylindre précédent, x^, Yo étant liés par une relation 

 déterminée; tout problème de la théorie de l'élasticité ayant une solution 

 unique conduira à des fonctions u, i>, w de a--, y, z et du paramètre t, pour 

 lesquelles on peut répéter ce qui précède, le paramètre z renqjlaçant /;; on 

 arrive ainsi à la considération des tiges minces. 



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