SÉANCE DU 27 JANVIER 1908. 17I 



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sur les bases cl les composantesX, Y, Z s'annulent; enfin u, , v, , (f', s'expriment 

 explicitement au moyen de ii„, v^,, Wo et de leurs dérivées et sont, par rap- 

 port à z, des polynômes du troisième degré pour u,, c, et du deuxième 

 deg7"é p6ur (v, ; les fonctions ?/„, f„, <v„ vérifient des équations aux dérivées 

 partielles, qui présentent, à l'égard du paramètre A, le même caractère 

 que u, (', w. On retrouve ainsi, en particularisant les données, la solution à 

 laquelle est arrivé par une autre voie M. Maurice Levy (') eu 1877. Si l'on 

 veut vérifier, au moyen des valeurs trouvées, les conditions sur le bord 

 latéral, on se heurte en général à une impossibilité, qui se présente sous la 

 forme même mise en évidence dans la remar(jue que M. Boussinesq a faite 

 en 1878 à la page 108 du Tome LXXXVI des Comptes rentlus. 



Considérons maintenant le cas d'une tige, et supposons avec Poisson, 

 pour simplifier, que la section transversale de cette tige soit circulaire; si 

 l'on cherche des fonctions ;/, v, »' admettant la valeur s = o du paramètre 

 de Kirchhoff corame point ordinaire, et vériliant les équations (i) et les con- 

 ditions à la frontière latérale (où les données sont supposées admettre 

 aussi £ = o comme point ordinaire), on est encore amené en général à envi- 

 sager t'-ii, z'v, z'w et l'on trouve de nouveau un résultat curieux; si l'on 

 poursuit les développements commencés par Poisson, les valeurs cherchées 

 se somment par rapport à £ et ont la forme (2), où maintenant u^, f,, w., 

 sont déterminés explicitement par les donni'i's sur la face latérale et par les 

 composantes X, Y, Z, et s'annulent pour r = y ^ o; £/,, r,, n^, s'expriment 

 explicitement au moyen des valeurs «up, ('„„, (i'„„ de ?/, v^ w pour a; = y = o 

 et de leurs dérivées, et sont, par rapport à .r, jy, des polynômes du troisième 

 degré pour », et du deuxième degré pour t^,, ir,. On retrouve ainsi, en par- 

 ticularisant les données, la solution célèbre de Barré de Saint-Venant, et l'on 

 s'explique, dans une certaine mesure, pourquoi elle apparaît dans les re- 

 cherches de M. Boussinesq (^) sur les tiges minces. Il y a d'ailleurs encore 

 impossibilité de vérifier, en général, avec la solution ( 2 ), les conditions sur 

 les bases, à moins de se borner à des résultantes. 



Les considérations précédentes montrent que Poisson et Cauchy, en 

 poursuivant plus loin leurs calculs, auraient été conduits aux problèmes de 

 Barré de Saint-Venant et de M. Maurice Levy, qui nous paraissent devoir 



(') Comptes rendus, l. LXXXIV, 1877, p. SgO; Journal de Mat/iématiqiies, 3<= série, 

 t. III, 1877, p. 219. 



(-) Comptes rendus, t. LXXII, 1871, p. 407 ; Journal de Mathématiques, 2" série, 

 t. XVI, 1871, p. 125; 3= série, t. V, 1879, p. 160. 



