SÉANCE DU 3 FÉVRIER I908. 225 



La démonstration repose sur certaines propriétés de la série divergente 



(A) Po(cosy) M- 3P,(cosy) -h. . .-f (2/i + i)P„(cos-/) -+■..., 



procédant suivant les polynômes de Legendre, et qui joue ici un rôle ana- 

 logue, comme la série 



i -I- cosy + . . . + cos /( y -i- . . . 



dans la théorie de la série de Fourier. 

 Remarquons d'abord que 



o(/-) = «0+ "1'' +■ • ■+ "„/•"+. . . 



étant convergente pour | /"l <^ i , on a 



1-/--^" ' {,-ry-2d'"' ■ (,-ry"2d'"' 



«-0 «=o n^o 



Mais en rappelant Féqualion bien connue 



V ( 2 /( + I ) V„ ( cos y ) r" = !-^— ^ 5 = 



„=o (1 — 2 rcosy + /■■-)- 



on a, ("H Miullipliaiil les deux membres pa 



2 /■ cos y H- /•'- 1/ , 



y 1 — 2 /• cos y -H /•■ 



( I — /•)■' 



2'-<v)'"=,^ 



('-'■y 



(1 — 2/' COS y + /■'- 



„ I ( I ■ — I' )- I — 2 /■ cos y -1- /■- I — /• ./ 



I — 2 r cos y -f- /■- 



Mais, comme 



I — 2 /cos y + 



\ 1^2/' cos y + /- 

 on olilicnl 



I — /■'- / I 



— = 2 I — h /■ cos y + . . . + /■" cos n y 



Fo(cosy) + l'i(co>y)/-+. . . -h P„(cosy )/■" h- . . ., 



(2) ff(r) = 



(3) /,(/■) 



(1 — /')- I — 2/' cos y -h 



T=-l 



sin(« + I) 



si II - 



■/ 



(o^y ^27:), 



' ' V^' — 2 /■ cos y + /■- 



sin(« -t- i) • 



dl 



si n - ^2 ( cos y — cos t ) ' 



r" (o<y<7r), 



