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OÙ, pour établir Téquation (3), nous avons appliqué la t'onnule de Mehler 



i\n {2 n + i) - dt 



' 1 / /( =0, I, 2, ..., ce 



/ , = 



\/2(cosy — cos/) \ o < y < 7: 



Des équations (2), ( 3 ) il s'ensuit immédiatement (pie les séries de puis- 

 sances ^(r), /«(/■) ont tous leurs coefficients non négatifs, quelle que soit la 



valeur de y. Les coefficients de leur produit y ,9^,(0)/" ont donc la môme 



propriété. Nous avons donc le théorème suivant : 



Théorème I. — Les sommes de deuiiéme rang s^^^^i) (n =0, 1,2, ..., oo) 

 de la série (A ) son/ toutes non négatives, (jaelle que soit la valeur de y. 



Soit maintenant z'^-^'^t:, t étant une (pianlité positive fixe, mais aussi 

 petite qu'on veut. Alors, comme on le voit facilement, tous les coefficients 



de g{}-) sont plus petits que . et ceux de h(i') sont plus petits que 



) où c est une constante absolue. 



sin-- 



Donc 



*',',(■/)<("+ 7 — ^— TT (£ = y = Tr; « = 0, I, .. ., 00), 



sin - 



et nous pouvons énoncer le théorème II : 



lim ' 



( « + 1 ) ( /i + •! ) 



la eom>er genre étant uniforme dans l'intervalle ( £, ~) quelle que soi/ la petite 

 quantité positive t. 



r>n appliquant ces deux théorèmes, on déduit très facilement que 



lim 



„ = „ («4-1) (« -I- 2) 



-iTT ', iît 



-^'''^ — /(&', o')s\ne'de'd'f'z=f(e, o). 



la fonctiony(0, ^) satisfaisant certaines conditions très générales. Je rap- 



