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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Théorème sur les séries de Taylor. Note 

 de M. 3I1CHEL Petrovitch, présentée par M. Emile Picard. 



Nous dirons qu'une série 



(i) f{z)r^a^^ a^z-T a,_z''--\- . . . 



à coeflicients réels, convergente dans tout le pian des s, jouil de la pro- 

 priété (A), si la fonction /(s) ainsi que tout polynôme /„(-) formé 

 de ses « + i premiers termes ont leuis zéros tous réels. 



Nous nous proposons de rechercher les conditions nécessaires et suffi- 

 santes pour qu'une série (i) donnée jouisse de la propriété (A) en nous 

 bornant dans cette Note au cas des coeflicients a„ positifs, le cas où il y 

 aurait des coefficients négatifs étant réservé pour une Communication 

 prochaine. 



Les cas a^= o (qu'on peut évitera et f/, = o (dans lequel /"^ aurait ses 

 zéros imaginaires) étant exclus, on peut toujours faire 0^=1, «, = i. En 

 désignant par 



(2) o„(z) — z" -+- z"-' + a,z"-^n-. . . -h «„ 



la transformée en - de l'équation /„(:■) = o, les polynômes z>„(z) peuvent 

 être définis par la relation de récurrence 



(3) o„{z)= zo„_,{z) -h a„ 



avec o„{j.- ) = I . La courbe 



(4) / = ?.( = ) 

 n'est autre que la courbe 



(5) . y = =9::->{--)' 



après qu'on a déplacé l'axe Oz de celle-ci parallèlement à lui-même de la 

 longueur f/„ vers les y négatifs. 



En construisant de proche en proche les courbes (4) en partant des 

 courbes déjà construites 



avec 9i(=) = = + I, on s'assure facilement que : 1° la courbe (6) coupant 



