SÉANCE DU lO FÉVRIER 1908. 278 



son axe Oz en n — i points réels, pour que la courbe (4) coupe aussi son 

 axe Os en n points réels, il faut ot il suffit que le déplacement — a„ de cet 

 axe soit inférieur ou égal au plus petit déplacement l„ cpi'il faudrait lui 

 imprimer vers les y négatifs pour qu'il vienne toucher la courbe (5); 

 2° si a„<^„ la courbe coupe son axe 0; en n points réels distincts; 

 Z" si a„= E„ les points d'intersection sont encore tous réels, mais il y en a 

 de confondus. 



Or, si l'on désigne par 



(7) A„(rt2,«3, ...,r/„) 



le discriminant du polynôme (2), la valeur ?„ sera la plus petite racine posi- 

 tive (dont l'existence est assurée d'après la construction précédente) de 

 l'équation algébrique en a-, 



(8) A„(rt2,a3, ...,««-n') = o, 



donnant les valeurs de a;::=a„ pour lesquelles le polynôme 9«(i-) a des zéros 

 multiples. 



On arrive ainsi, d'une manière bien intuitive, au théorème suivant : 



Pour qu'une série à coefficienls positifs 



(9) i-i- 5 -(-«2=-+ «;,:■' + . .. 



jouisse de la propriété (A), il faut et il suffit que le coefficient a„ soit infé- 

 rieur au égal à la plus petite racine positive de l'équation (8) e^ cela pour 

 toute valeur k^i. Les zéros des polynômes seront, d'ailleurs, tous simples 

 ou il y en aura de multiples suivant qu'on a a„<C ^„ ou bien a„ = ^„. 



Parmi toutes les séries (9) en noml)rc illimité, jouissant de la pro- 

 priété (A), l'une mérite une attention toute spéciale : c'est la série 



(10) f{z) = i + z+l,z^+l-,z^-^..., 



où tous les coefficients atteignent leurs plus grandes valeurs possibles. 



Le coefficient A„(A- = 2,3,...) est la plus petite racine positive de l'équa- 

 tion algébrique en x 



(11) A„(;^,, X3, ...,ln-^,J0) = O 



ayant toujours pour racine a; = o et au moins une racine positive, comme 

 l'indique la construction précédente. On trouve ainsi 



A, — -ryj A4 — 



'^^-4' "'~}k' "*- 2879,428' •••' 



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