SÉANCE DU lO FÉVRIER I908. 2^5 



tielies est basée sur l'évaluation des restes des séries données par la méthode 

 d'approximations successives de M. Picard. (]ette évaluation repose sur des 

 inégalités de Lipschitz dont les coefficients positifs peuvent correspondre à 

 des dérivées négatives (') de valeurs absolues très grandes. Lorsqu'une 

 telle discordance se présente, l'évaluation des erreurs peut devenir rapide- 

 ment inutilisable pour le calcul numérique. 



Ce défaut ne subsiste plus dans la méthode indiquée dans cette Note, 

 dont le principe est d'ailleurs tout différent. Bien qu'elle s'applique à un 

 système quelconque d'équations différentielles, nous l'exposerons, pour 

 abréger, dans le cas d'une seule équation du second ordre. 



1. Rappelons que, d'après Cauchy, pour intégrer une équation linéaire 

 avec second membre 



on cherche d'abord la fonction ç(a-, a) vérifiant l'équation sans second 

 membre et telle que, pour a: = a, cp = o et -p= i. La formule 



(2) u{x)=z |(a)9(.r, a)rf« 



•- 



donne alors l'intégrale de (i) telle que, pour v ^o, u = -y- =^0; u'= -7- est 

 donné par une formule déduite de (2). en y remplaçant (p par f'= -y^- 



2. Soit maintenant une équation quelconque du second ordre à laquelle 

 nous donnerons la forme 



(3) y'+a,'+6v = F(,r, ,', 7'), 



a et b étant fonctions de la variable indépendante x\ nous verrons plus 

 loin comment on les choisit. Nous supposons connue une solution appro- 

 chée Y] de (3) et admettons qu'elle vérifie exactement les données initiales 

 (valeurs de y et y' pour x=^o)] posons g(x)=^-i]" -h a-q' -{- /;y). Appe- 

 lons Y la solution cherchée, dont l'existence est supposée établie. 



Désignons l'erreur Y — -^ par m, en prenant. '\i(x) = F(x, Y, Y') — g'(^). 

 u vérifie la relation (2). Comme '.]> ne peut être supposé connu exactement, 

 nous calculerons une valeur approchée v (x) de u (x) en remplaçant 



(') Nous nous limitons aux éléments réels. 



