276 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



dans (2) (p e/ i|/ par des fonctions voisines cp, et 'ji,. En partant de limites 

 supérieures de | ^p |, | 4^ |, 1© — (p, |, ] ç' — o\ \ et de ] '| — '|, | on aura aisé- 

 ment des limites supérieures ^{x) pour \u — v\ et ù^{x) pour \u' — v'\. 

 Voyons maintenant comment on trouve ç, et 'j^,. 



Dans le cas particulier très important où a et b sont constants, on peut 

 prendre a» ^ cp,. 



La détermination de ip, estmoins aisée dans le cas général, on peut cepen- 

 dant la regarder comme praticable par des méthodes connues, puisqu'elle 

 revient à l'intégration approchée d'une équation linéaire 



i>i = F(j-, r;, r/) — ^(.-r). 



Nous prendrons alors 'ji — '.p, = F(a', Y, Y') — F (a:, yj, y]'). 



Admettons : i" qu'on ait des limites supérieures grossièrement évaluées 

 pour [«I el |«'|, soient £ et £, (on ferait au besoin des hypothèses dont on 

 vérifierait ensuite la validité); 2° que lorsque le point x, y, y' se déplace 

 au voisinage de la courbe j' ^ yj (a?), j'^ y]'(a;) on ait pour F une inégalité 

 de Lipschitz dont les coefficients a et p soient petits. Nous aurons alors 

 I '-p — ^1 1 <C o'^ + 1^^) 6t nous pourrons calculer et 0, . 



Tant que | a; |, | ç' ± ], | ^'' dz ô, | sont assez petits pour que les hypothèses 

 antérieures soient vérifiées on peut affirmer que a et u restent compris respec- 

 tivement entre v — et v -\- el entre v' — 0, e/ c' -f- 0, . 



Pour donner à une équalion quelconque y" =zj\x,y^y' ) la forme (3) on prend 

 pour a et è les résultais de subslitulion de r; et r/ à r et y' dans — /'^ et — J'y (ou dans 

 des fonctions voisines). Si les dérivées y^. et /','. sont continues et varient lentement, 

 oc et |3 sont petits comme nous l'avons supposé. 



3. On [icut aussi évaluer une limite supérieure de | w 1 en remplaçant dans (2) cp et i|j 

 par des fonctions respectivement supérieures à j cp | et 1 1|/ 1. On rattache à ceci la justi- 

 fication d'une méthode d'approximations successives souvent employée : on prend 

 /, := Yî puis, d'une façon générale, yi satisfaisant À j"i + ay'i + &/;= F(a;,y,_j, j^_,). 



4. Les fonctions !p, et (J;, peuvent avoir des signes quelconques; des com- 

 pensations pourront donc se produire dans l'évaluation de i' et de c'. Grâce 

 à cette circonstance, les résultats du n" 2 permettront mieux que les mé- 

 thodes antérieures d'apporter à la notion intuitive « deux équations diffé- 

 rentielles voisines ont des solutions voisines » non seulement la rigueur 

 mathématique, mais encore une précision suffisante pour conduire à des 

 inégalités numériques pratiquement utilisables. 



