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Soit V(a-, y\ X) le noyau résolvant correspondant à un noNau quelconque 

 K(x', }'). ] >e l'identité fondamentale ' 



(i) r( .r, j; /.) — K(./-, y)— a / k(./-, .v) r(.v, r ; "/.) ds 



on déduit, en nudtipliant les deux membres par ' [r(a;) désignant une 



fonction (juelconque de .r], une nouvelle identité qu'on peut écrire 



,1, 

 (2) r,(a-, j; >.) — K,(f, j) = >. ^ K,{.r,s)\\[s,j;'l.)ds, 



en posant 



K, (.r, y) = K{x, /) Tfrî' r, (.r. r ; À) = Y{œ, y ; /.) ':^^, 



et nous en concluons que r,(a;, v; X) est le /loyati resohrin/ coi-respoiidanl 

 au nuyou K,(a;, y ). 



Cela posé, supposons en particulier que le noyau lv(.r, j) soit de la 

 forme 



(3) K{u;y) = S(x,y)^'[j{.i-)p(y)fj(a;)fj{y), 



S(a;, y) étant une fonction symétrique de x et de y, yy(j'j et f/i-r) deux 

 fonctions positives dans l'intervalle (a, b). Ce noyau Vi(x,y) est évidem- 

 ment symétrique; soit r(a?. ->-; A) le noyau résolvant correspondant. Appli- 

 quons la remarque générale précédente en prenant ici 



nous aurons dans ce cas 



■^^^=V'^y 



(4, K,(.r,j) = y/^^|jM^S(.r,v)v>(x)/K7)7(^-)9(y)=/^('Oy(.>-)S(.i',j-). 



On en conclut que le noyau résolvant T,(.v,y:'h) qui correspond au 

 noyau p(.r )(/{ y) S(a;, y) est égal au produit 



/ y.(a.-)y(.y) 



v;/.)- 



Or. d'après les propriétés des noyaux symétricjues, tous les pôles de 

 r(.x-, r; a) sont des pâles simples réels. Il en est donc de même des pôles 

 de r,i .r, 1 : A). 



