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GÉOMÉTRIE. — Sur les cougnicnres fie courbes planes. 

 Note de M. C. Popovici. 



.Je vais exposer dans la présente Noie quelques résultats qui feroni suite à 

 la Note précédente et aux lielles recherches de M. Carrus. 



1 . (îènèralisation des èijuadons linéaires. — Considérons l'opérateur 



n / r^ / . '^f , -, àf ()f 



O.V, 0.t„-, Ot„ 



et l'équation 



D(I) = U"-'(1) -h «,(./■,, . . . , j;,) V-'(\) + . . . + a„ ,(x„ . . . , .f„) U(\} = o; 



les intégrales de cette é(juatiou peuvent se séparer en deux catégories : 

 1" les intégrales r,^(a:,, . . . , .r„ ) qui appartiennent à l'équation \](v)--^o:, 

 i" les intégrales I qui n'appartiennent pas à cette étjualion. 



Par rapport à ces di'i niéics, on peut énoncer les deux lli(''orcnies sui- 

 ^anls : 



i" Il existe luie inlèiirale I telle que. pour .r„ ^ .r", on ait 



2" Entre n — i intei^/-tfles I. // e.riste toujours une relation de la forme 



•■i(''i. ■ ■ •. c„. 1 )1, + . ..+ C„.-, ( r,, r„ |)f„_H- 1=^0. 



2. Itecherehes des eourhes planes appartenant à une eoni^rueiiee. — INtikhis 

 le cas le plus général, on Fou ne connaît |)as même la cougruence 



mais la tangente en chacpie pomt. Vax d aulies ternies, trouver les intè ivraies 

 qui représentent des caractéristiques planes d'une équation U(/')^o sans 

 iju'on sache intégrer cette é(pHituui. 



Considérons une équation D(I), les foiuiions </,, ..., «„_„ étant in'lcler- 

 ini/u'es. Suhslituons //,, ... , «„_o à la place de I. Les écpiations 



