SÉANCE DU 2/| FÉVRIER I()of<. ^87 



voiil nous déterminer a,, ..., rt„_j. H>i nous substiLuoris inaitilmniit «„_,, le 

 résultat ne sera plus, en général, nul. On aura 



D(,,„„,) = D(.r,, v„), 



U(»,) ... U(«„_,) 



D: 



U" '((/,) 



L'« '("„-,) 



Prenons eoniine variables r,, ..., c,, ,. D. Pour les jxnnls tic la surface 

 D = G, on aura une relalion de la forme 



C|(r,, . . ., (■„_,)«, 



1 (''11 • • • I '■'il 1) "« 



D = o. 



Les trois théorèmes que j'ai énoncés dans la Note précédente résultent de 



ces deux égalités. 



S'il existe des courbes planes parmi les intégrales du système dxi,-=- u^dXn, 

 celles-ci se trouvent, sans aucune quadrature, à l'intersection des surfaces 





+ . . .+ ;/„_., 



dP 



ôx,, 



6)D 



(D=o). 



l'our qu'il y ait des solutions du problème, il faut que les deux surfaces se 

 coupent. Si la première de ces équations est identiquement satisfaite, la sur- 

 face D = sera le lieu des caractéristiques planes. Si D^z;o, alors toutes 

 les caractéristiques sont planes et nous avons donné la méthode pour trouver 

 les intégrales. Cette méthodeétait au fond celle de M. Darboux, généralisée 

 après lui avoir appliqué une légère mais essentielle simplification. 



3. Singularités des courbes planes. — On peut classifier les congruences 

 de courbes planes d'après l'équation 



D(l) = U"-'(l) -+-rt,U"--(I )+...= 



U(I) 

 U(»,) 



U (,/„_,) 



U"-'(I) 

 U"-'(«,) 



Les fonctions a^, .,.,a„_2 étant données d'avance, il existe une infinité 

 de congruences satisfaisant à l'équation caractéristique D ; elles seront don- 

 nées par tous les systèmes d'intégrales (?/,, . . ., u„_,) satisfaisant au système 

 de n — i équations aux dérivées partielles du (n — iy''°"= ordre 



J)(mi) = o, ..., J)(//„_i) = o. 



C. K., 1908, 1" Semestre. (T. CXLVI, N« 8.) 



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