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a conduit Biiol et Bouquet à énoncer le lliéorème suivant : 



Pour que VéquaUon (3) admette une intégrale holontorphe dans le voisinage 

 de X ^^o et s'annulant pour x = o, il faut et il suffit que le nombre c soit un zéro 

 de la fonction entière W {■>') donnée par la formule 



(4) Jl(.r) = ^ + :^.r+- A^2^. _^,,.3+...+ 'iR .,"+.... 



^ ' ^ ' I 1.2 I .2.0 I .2.0. . ./< 



2. J'ai eiUrcpris des recherches pour obleiiir une extension du ihéorème 

 de Briol et Bouquet au cas général et je suis arrivé au.\ résultais suivants : 



I. 5/ 7WIIS c/ésig/ions par 



yiX + y., .V- + . . . + y„ x" H- . . . 



/e développement tarlurien f/ui salis/ait furmel/ement à l'équation différen- 

 tielle (\), la quantité v'y„ n'est jamais d'un ordre de grandeur supérieur à celui 

 de la quantité y {n — i)l =v/i.2.3... (n — i); J'entends par là que le rap- 

 port yy„ : \/(n — I )! //(' lenl jamais vers l'injitn. 



II. Si nous supposons que les coefficients des séries, qui définissenl les fonc- 

 tions B(a-), B,(a--), B.(a7), ..., soient réels et négatifs, l'équation ( i) ne 

 saurait admettre une intégrale holomorphe pour aucune râleur de a. 



La méthode que j'ai utilisée pour démontrer ce théorème met en lumière 

 la cause protonde du fait, d'après ]e(iuel le développement laylorien est, en 

 général, divergent, puisque la restriction que ce théorème II comporte ne 

 touche pas le fond du caraclère fonctionnel l'I diflërcnliel des éipialions les 

 plus générales, que nous considérons ici. 



III. Si nous fixons tous les coefficients de l'équation dillérentielle saut a, 

 que nous considérons comme un paramètre, nous avons encore le théorème 

 suivant qui complète le théorème II : 



.SV B , (X) — o et si B (.r) est un polynôme , / 'équation différen tielle (i) ne sau- 

 rait admettre une intégrale holomorphe dans le voisinage dex ^o et s'annu- 

 lant pour x = o que pour les i^aleurs de u = - qui annulent une fonction en- 

 tière g(u). If ensemble, donc, des valeurs de u pour lesquelles il y a une 

 intégrale holomorphe est dénombrahle avec un point limite unique à l'infini. 



Il y a là une extension, dans une certaine mesure, du théorème cité de 

 Briot et Bouquet; d'autre part, nos résultats justifient, dans des cas très 

 étendus, Tassertion mentionnée plus haut, qui ne s'appnyail jusqu'ici que 

 sur des exemples très particuliers. 



