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b'i qu'elles sont engendrées par des droites isotropes qui n'ont pas d'enve- 

 loppe. Nous les appellerons surfaces ((>/,) pour rappeler que tous leurs 

 points sont des ombilics et qu'elles ont une courbure. Toute surface gauche 

 à génératrices isotropes est une surface (0^;). Une classe de surfaces (O/,) 

 est constituée par les surfaces ((ue .T.-A, Serret a fait connaître (Journal de 

 iJounllc. i.S4(S) et qui résultent de la déformation de la sphère considérée 

 comme surface réglée. 



M. Scheffers (Einfùlirung in die Théorie der Flâchen, p. 227) a exprimé 

 les coordonnées des surfaces à génératrices isotropes par des formules d'où 

 il est aisé de faire disparaître les signes de quadrature dans le cas général, 

 mais non dans le cas des surfaces de Serret. M. Stackel {Leipzii^er lie- 

 richle. 1902) a appelé l'altenlion sur les deux nappes dont se compose l'en- 

 veloppe des sphères définies par Monge et dont chacune est engendrée par 

 l'une des deux génératrices isotropes qui sont communes à deux envelop- 

 pées consécutives. 



II. On peut obtenir une représentation analyticjue générale et explicite 

 des surfaces (O/,) en employant les coordonnées tangentielles isotropes de 

 Bonnet (Dahroux, Théorie des surfaces, t. I, p. 24<)). Considérons, en effet, 

 le plan variable 



(a -t- j3)j; -)- «'([3 — a)j -t- (a3 — 1); -H 4 = o, 



et soient /), y, /■, .v, / les dérivées premières et secondes de ; par rapport à a 

 et à p. La surface enveloppe de ce plan est déterminée par les équations 



(i) (a|5-)-i); = ç~/>a — g-lS, a;— n-=— (3; — />, .r h- jj = — az — q. 



Ses rayons de courbure principaux et ses centres de courbure princi- 

 paux sont fournis par les relations 



(2) 



2 R = (a(3 -h 1 ) (:: + A- ± \lrt), X — i\ = — /> -h |3 (.s ± s^rl ), 



2Z = (a;î-hi); + (a|3 — i)(5±v/^), X + i\ = -~fi -+- c/.{s±\J7l). 



Pour les surfaces (O^. ), il faut supposer // = o. Soit / ^ o, et par suite 



-'.z3(3A(a) + A„(^). 



11 y a ainsi une correspondance, que la théorie des transformations de con- 

 tact permettait de prévoir, entre les surfaces à pian directeur et les sur- 

 faces (Oa). l^es formules (1) donnent pour ces dernièros surfaces les exprès- 



