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OU moins quelconques; si par exemple F désigne l'intégrale d'une équa- 

 tion différentielle, on pourra étendre immédiatement à tout le plan l'inti''- 

 grale locale constituée par un développement taylorien puisque la connais- 

 sance de celui-ci et la connaissance des polynômes s„ ne font qu'une seule et 

 même chose. 



Soient/(^~) une fonction entière et c„ le {n -+- i)'^m« terme de son dévelop- 

 pement taylorien en ^ valable dans tout le plan des ^. 



Dans le Bullelin des Sciences malhè77ial>(jues (juin 1907) j'ai démon- 

 tré que 





si I ç I <; p, I «;a;| <^ or. C est le cercle»de rayon r qui ne contient aucun «^ 

 et r est un cercle de rayon p tout à fait quelconque, puisque /est une fonc- 

 tion entière. Dans ces conditions les inégalités précédentes n'empêchent 

 pas ^ et a; d'être quelconques. Appliquant encore la théorie des résidus à la 

 dernière intégrale obtenue, il vient finalement (/oc. e?V.) 



^ ' '^~^./-(c:)^2- fil) «,(.--«,)• 



Il s'agit maintenant dans le second membre ainsi obtenu de faire dispa- 

 raître le second sigma. Il semble qu'on puisse obtenir cela de bien des 

 manières. 



On peut choisir y de manière que le rapport de ,/( — ) à /(H) tende 



vers zéro quand ^ tend vers une certaine limite (l'inlini par exemple ). 



Cette méthode redonne les résultats de M. Borel où n'interviennent (juo 

 des fonctions sommatrices /dépourvues de zéros. 



Considérons au contraire une fonction / ayant des zéros distribués dans 

 tout le plan et prenons même, pour fixer les idées, la fonction 3* de Weier- 

 strass ayant pour zéros tous les sommets du quadrillage orthogonal formé 

 par les axes et des parallèles à ceux-ci d'abscisses et d'ordonnées ± 1, ± f\, 

 ±6,.... 



Admettons d'abord, pour plus de simplicité, que F(.r) soit une fraction 

 rationnelle de pôles (/,, a.,, . .., a„. Divisons Funitéde longueur en p parties 



