SÉANCE DU iG MARS 1908. 377 



égales et admettons encore qu'on puisse poser 



^Ai) f'A2 étant des entiers réels dont Tun est pair, l'autre impair, tandis 

 que Xf et x., sont des entiers tous deux pairs. Alors 



(3) . ^-^=l{X, + i.T,)' 



et, si l'on prend ^ égal à 



(4) L=Y{{aU-^-al,), 



on a ainsi un nombre ^ réel, fini et impair, cependant que ^^— est un entier 



Cl /^- 



complexe pair. Donc a' ^^— est nul et o'^ ne Test pas. La formule (i) donne 

 alors 



n^ an 



(5) F(^-)=V£^. 



n = 



Si les pôles a/, sont en nombre illimité, le produit (4) diverge, et il en 

 est de même de (3); mais cela n'empêche pas que ces expressions sont tou- 

 jours l'une un entier réel impair, l'autre un entier complexe pair. Le second 

 sigma de (i) disparaît encore et, si l'on pose 



^0 \^n )-^0 ~t~ ^1 ( Ç« J-^l ~^ • ■ ■ ~t~ ^/i( s/2 l^n 



n — ;7j 1 



on a 



(6) , F(a;) = So+(S,-S„)-h(S,-S,)+.... 



Les c, coefficients du développement de 3*, sont des quantités bien con- 

 nues où figurent les invariants g., et g^ qui, ici, sont réels. 



On voit qu'avec le& formules (5) ou (G) x peut parcourir tout le plan, 

 sous la seule condition que les hypothèses de rationalité (2) soient vérifiées. 

 Les Oyt et les x ne peuvent être pris dans l'ensemble continu de toutes les 

 valeurs complexes, mais seulement dans un ensemble dénombrable. D'autre 

 [)art, comme p est aussi grand qu'on voudra, les éléments du second 

 ensemble difTéreront d'aussi peu qu'on voudra de ceux du premier; c'est 



