SÉANCE DU 23 MARS 1908. 619 



surfaces à génératrices isotropes. De plus, si une autre surface (K„,) a 

 coniino élément linéaire 



fi?.ç; = idiii r/i'i H- (r, wj + Vi) di'\, 



pour l'appliquer sur la surface d'élément linéaire r/5-, on devra prendre 

 v^ ^ (;; on trouve alors que m, doit être égal à u et l'on arrive à l'unique 

 condition V,((') = V(r), qui est nécessaire et suffisante. On pourra donc, 

 toujours, en procédant de la sorte, reconnaître si deux surfaces (K„,) sont 

 applicables l'une sur l'autre. 



II. Pour rapporter les surfaces (O*) à leurs lignes de longueur nulle 

 (a = const., [î ^ const.), j'emploie les formules qui dérivent de l'analyse 

 par laquelle O. Bonnet a obtenu l'équation aux dérivées partielles des sur- 

 faces admettant l'élément linéaire 4?^(i^) p)f/ar/[î. A l'aide de ces formules, 

 pour lesquelles je renverrai à mes Recherches sur tes surfaces isothermiques 

 (^Ann. delEc. Norm. su/)., içjoj et 1906), ou établit (pie les surfaces (O/,) 

 font partie des surfaces dont l'élément linéaire devient celui d'une sphère de 

 rayon i quand on le multiplie par le carré de la courbure moyenne. Or les 

 surfaces qui jouissent de cette propriété, et parmi lesquelles figurent six 

 variétés importantes de surfaces isothermiques, ont toutes été déterminées 

 dans le second des Mémoires précités (p. 407-/(09). Si l'on particularise les 

 formules générales de manière qu'elles représentent les surfaces (O/,), on 

 obtient, pour les coordonnées de ces surfaces, les expressions suivantes : 



-/va;, 



iz=--^+ lA'A',dcc, 



OÙ A et A, sont des fonctions arbitraires de a, dont A' et A', sont les déri- 

 vées. L'élément linéaire est 



rf.9^=(AA; — A'A,)-^(« H- ,3)-'rfaf/(3. 



Si l'on cherche dans quel cas il est réductible à la forme harmonique (forme 

 de Liouville), on reconnaît que la courbure totale doit être constante. 

 Dans un travail antérieur (Ann. de la Fac. desSc. de Toulouse, t. IX, 1895), 

 j'ai prouvé que toute surface harmonique réglée est applicable sur une surface 

 de révolution ou sur une quadrique ; mais j'ai laissé de côté les surfaces à 

 génératrices isotropes : d'après le résultat (jui précède, la proposition est 

 vraie sans aucune restriction. 



