SÉANCE DU 23 MARS 1908. 62 1 



rainer la figure d'équilibre d'une plaque élastique encastrée, le problème 

 biliarmoiiique peut être énoncé de la façon suivante : 



Déterminer une fonction a', biharmoni(itie à l'intérieur d'un domaine 

 donné (D), de façon que les valeurs périphéiiques de cette fonction, ainsi que 

 celles de ses déri<.'ées du premier ordre, coïncident avec les éléments analogues 

 relatif s à une fonction donnée ^. 



Bornons-nous, pour plus de simplicité, au cas du plan et posons 



Sauf quelques restrictions d'une nature extrêmement générale, la déter- 

 mination de la fonction v, et, par conséquent, celle de la fonction w elle- 

 même, dépend alors d'un problème que j'appellerai problème intermédiaire 

 et dont voici l'énoncé : 



Etant donnée une fonction (J;, telle que l'intégrale 

 (I) f ^'dr, 



oùdi représente V élément d' aire , ait un sens, déterminer une fonction v, har- 

 monique à l'intérieur du domaine (D), telle que l'intégrale 



f V^dT 



ait une valeur finie et telle, en outre, que. pour toute fonction h, harmonique 

 à l'intérieur du domaine considéré, on ait 



Jc/i dz= I ■]i/i dT, 

 ini --'in) 



pourvu que l'intégrale 



f ii-d-z 



ne soit pas dépourvue de signification . 



On démontre facilement, a priori, que le problème précédent admet au 

 plus une seule solution. 



Pour le cercle, la solution du problème intermédiaire est immédiate. 



