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Sachant résoudre ce problème pour chacun des deux domaines (D, ) et (D,) 

 ayant des points intérieurs communs, on peut aussi le résoudre pour le 

 domaine (D) formé par l'ensemble des points dont chacun est intérieur à 

 Tun au moins des domaines (D,) et (Do); on obtient ce résultat par une 

 méthode que j'appellerai y^/oceV/e fl//eA«e, à cause de son analogie avec la 

 méthode bien connue de M. Schwarz pour le problème de Dirichlet. 



Considérons maintenant, dans le plan, un domaine (D) ne s'élendant pas 

 à l'infini et ayant une aire bien déterminée; envisageons en outre une fonc- 

 tion donnée .]; quelconque, à cela près que l'intégrale (i) ait un sens. Il sera 

 possible de former une suite infinie de cercles 



(C,), (C), (G..,), ... 



intérieurs au domaine (D) et tels que tout point, intérieur à ce domaine, 

 soit aussi intérieur à l'un au moins des cercles précédents. Désignons 

 par (D„) le domaine formé par l'ensemble des points, tels que chacun d'eux 

 soit intérieur à l'un au moins des cercles 



(G,), (C,), ..., (G„), 



et envisageons une suite infinie, dont le premier terme 'lo coïncide avec la 

 fonction donnée '-p, le terme général 4^,, se déduisant du terme (j>„_, delà 

 façon suivante : à l'intérieur du domaine (D„), la fonction '|„ coïncide avec 

 la fonction harmonique qui, pour ce domaine et par rapport à la fonc- 

 tion '!„_,, représente la solution du problème intermédiaire; dans le reste 

 du domaine (D), on a 



L'application du procédé alterné permettra de prolonger la suite 



(2) '\lo, 4^1' 'l'î' ••• 



aussi loin qu'on le voudra. Pour certaines valeurs de n, le domaine (D„) 

 pourrait se composer de plusieurs régions séparées, mais cela ne gênerait 

 en rien. 



Cela posé, il est possible de prouver que la suite (2) sera uniformément 

 convergente dans tout domaine in lérieur au domaine (D), et qu'elle aura 

 pour limite la fonction v (pii représente, pour le domaine (D) et par rapport 

 à la fonction (j/, la solution du problème intermédiaire. 



L'extension à l'espace de la théorie précédente n'offre pas de difficultés. 



