66(S ACADÉMIE DES SCIENCES. 



par Irlimination de k au moyen de la relation -rr ^= o, et comment, pour 



les autres valeurs de N' (comprises entre 0,8 et i) ou pour les nappes 

 ondulées, il y a lieu de faire constamment /?• = i dans la même équation (i). 

 En d'autres termes, le coefficient /w de débit est représenté, dans le cas des 

 nappes plongeantes, par l'enveloppe de la famille de courbes (i), où m serait 

 l'ordonnée, N' l'abscisse et k le paramètre, variable de zéro à i, tandis que, 

 de ]N'=o,8 à N'=i, c'est-à-dire dans le cas des nappes ondulées, l'enve- 

 loppe de la famille se trouve continuée par la dernière enveloppée consi- 

 dérée ou correspondant à /• = i. Il y a donc quelque intérêt à étudier cette 

 famille de lignes, dont chacune fournit, de ^- = o à /- = i, un élément à la 

 courbe représentant les coefficients de débit, et dont la dernière donne 

 même, à elle seule, un arc notable de cette courbe, savoir sa partie finale. 

 II. L'équation (i) a la forme 



(2) m=:(ff + *N')i/i — IN', 



dans laquelle se trouve compris le coefficient de débit du déversoir théo- 

 rique (à seuil épais et évasé) de Bélanger. En effet, sur celui-ci, où les 

 filets fluides sont supposés rectilignes et parallèles, et où la contraction 

 inférieure c est nulle, on a, si h est la hauteur de charge, // la hauteur de 

 la section contractée et p la pression N' pgh sur le seuil, 



k' 



p = pgh'—'^'pgh; A\m ^'=J- 



D'autre part, le débit mh \î'2gâ y est, comme on sait, h'sjig{h — A), 



avec // décroissant (suivant le niveau d'aval) depuis // jusqu'à la limite, ~h, 



qui rend le débit maximum. 

 Donc il vient alors 



(3) m^n'sJV^^'. 



m. Or, la forme (2) montre que toutes les courbes de la famille (ou 

 enveloppées) se terminent, du côté des N' positifs et quant à leurs ordon- 

 nées m positives, au point {^' =i^m — o) où elles coupent perpendiculai- 

 rement l'axe des abscisses N'. L'une d'elles se réduit à une parabole ayant 

 cet axe comme axe de symétrie : la valeur de /• y est celle qui, excédant zéro, 

 annule le coefficient de i — N' dans l'expression entre crochets de (i) : elle 



