SÉANCE Dl' 6 AVRIL 1908. 74 1 



un facteur fonction de u seulement. Comme on a visiblement 

 on aura aussi 



Ainsi les lignes u = const. correspondent à une famille de lignes minima 

 de la représentation sphérique. Or, si l'on se reporte à une indication 

 donnée par M. Darboux {Théorie des surfaces, t. I, p. 213), on reconnaît 

 aisément qu'il existe sur toute surface deux réseaux conjugués, composés 

 chacun d'une famille de courbes ayant précisément cette définition (') et 

 d'une famille de lignes minima de la surface. Nous les appellerons réseaux 

 conjugués isotropes. 



III. On peut établir que les surfaces (S) définies plus haut sont les seules 

 pour lesquelles un réseau conjugué isotrope soit un réseau conjugué per- 

 sistant. En ciTet, chaque ligne u = const. étant une génératrice rectiligne 

 de la sphère de Gauss, les points de cette génératrice sont dans un plan 

 isotrope (jui contient le centre de la spiière : leurs coordonnées a, h, c véri- 

 fient doue une équation linéaire et homogène dont les coefficients sont des 

 fonctions de u. Par suite, en vertu d'un théorème dû à M. Goursat (Amer. 

 Journ. of Mathematics, t. XVIII, uSqG), l'équation du second ordre que 

 vérifient «, h, c est du second rang. Comme elle doit avoir ses invariants 

 égaux, elle revient, quand ou lui donne la forme de Moutard, précisément 

 à l'équation (E) considérée ci-dessus. Il faut alors trouver trois fonctions 

 /, m, n vérifiant celte équation et telles que l'on ait à la fois 



V -¥ m"- -^ II" =.\] {II) +- V(c), 

 d l \^ () / m '\- I d n 



On déduit de là que la fonction V doit se réduire à une constante et il 

 reste 



P- + ni^ -^ n"- = U, C' -+- in[^ -t- n[} — o. 



C) Ce sont des courbes de conlacl de cylindres circonscrits (à génératrices iso- 

 tropes), de sorte que les léseaux conjugués peisislauts que nous déterminons ici com- 

 plètent l'étude récemment laite par M. Vj^otoU (Comptes rendus, t. CXLV, 16 déc. 1907 ) 

 des réseaux conjugués persistants dont une famille est formée par des courbes de con- 

 lacl de cônes circonscrits. 



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