882 ACADÉMIE DES SC1E^"CES. 



problème, on pourra en déduire une infinité d'autres, dans la détîuilion des- 

 quelles entrera une fonction arbitraire d'une varialjle. Soient, en effet, (C), 

 (C) les deux courbes, cl M, M' un couple ciuelconque de points correspon- 

 dants sur ces courbes. Si Ton considère la surface réglée {R) engendrée par 

 la droite MM', on peut dire, d'après la définition même de la correspon- 

 dance, que les deux courbes (C), (C) de la surface doivent couper les géné- 

 ratrices rectilignes sous des angles constants et que les plans tangents à la 

 surface aux points M, M' doivent faire aussi un angle invariable. Or toutes 

 ces propriétés subsistent si l'on déforme la surface réglée en assujettissant 

 ses génératrices à demeurer rectilignes. 



On voit donc qu'il est naturel de chercher à résoudre le problème qui 

 nous occupe en prenant comme point de départ la surface réglée (11) sur 

 laquelle les deux courbes (C), (C) sont tracées. 



Enl'abordant de cette manièreon est conduit, paruneanalyse quej'omets, 

 au résultat suivant : 



Si les deux courbes (C), (C) /le sont pas toutes deux des trajectoires ortho- 

 gonales des génératrices de (R), cette surface réglée sera applicable sur l'/iv- 

 perboloide de révolution à une nappe et les deux courbes (C}, ( C) seront les 

 transformées de deux parallèles quelconques de l'hypeiboloide. 



Cette proposition s'étend même au cas limite où la surface (W) serait 

 développable; en ce sens que, dans ce cas, la surface (R) aura pour arête 

 de rebroussement une courbe à courbure constante et sera applicable sur la 

 partie du plan extérieure à un cercle, c'est-à-dire sur un byperboloïde de 

 révolution infiniment aplati. Les courbes (C) et ( C) s'obtiendront en por- 

 tant des longueurs constantes sur la tangente à l'arête de rebroussement à 

 partir du point de contact. 



Revenons au cas général. D'après un théorème de Laguerre, on sait que 

 les surfaces réglées applicables sur l'hyperboloïde réglé de révolution ont 

 pour ligne de striction une courbe de Bertrand, c'est-à-dire une courbe pour 

 laquelle la courbure et la torsion sont liées par une équation linéaire. Il est 

 facile de caractériser les courbes (G) et (C) qui sont les transformées des 

 parallèles de rbyperi)oloïde et l'on trouve qu'il existe, entre la courbure, la 

 torsion et la dérivée de la courbure par rapport à l'arc, une relation assez 

 compliquée, de la forme 



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■- -Y + - V ^-— p- = c, 



