SÉANCE DU 27 AVKIL 1908. 8H3 



OÙ a, i, c sont trois constantes. Cette relation n'a rien de particulièrement 

 intéressant; elle montre toutefois qu'il sera impossible de choisir arbitraire- 

 ment l'une ou l'autre des courbes (C), (C) avec lesquelles se construit 

 notre première solution. 



Si la courbe (C) satisfait à une ou deux équations de la forme précé- 

 dente, elle fournira une ou deux solutions de notre problème. 



Elle ne peut satisfaire à trois sokitions do ce genre que si p et t sont con- 

 stants, c'est-à-dire si elle est une hélice. Dans ce cas, nous serons conduits 

 à une solution qu'on peut caractériser comme il suit : donnons à un corps 

 solide quelconque un mouvement héhcoïdal. Tout segment MM' de ce corps 

 se déplace de manièi^e que les hélices décrites par ses extrémités soient dans 

 la relation qui fait l'objet de ce travail. 



Examinons maintenant le cas écarté dans la recherche précédente, où les 

 courbes (C), (C) seraient normales à la droite MM'. Alors l'élément 

 linéaire de la surface réglée (R) ne sera phas défini. Si on le met sous la 

 forme 



on verra facilement qu'on aura seulement entre a et ^ la relation 



(32+ {or. — a) {c. — a-)z=b^, 



OÙ a, a', h sont trois constantes. Mais, comme on peut toujours, par de 

 simples quadratures, trouver les surfaces réglées admettant cet élément 

 linéaire, on voit qu'on pourra, à l'aide de simples signes de quadratures, 

 écrire la solution générale de notre problème. Je reviendrai plus loin sur ce 

 point. 



Mais ce qu'il y a de plus intéressant, c'est qu'ici on pourra prendre arbi- 

 trairemenl l'une des courbes, (C) par exemple. Alors la détermination 

 de (C) dépendra de l'intégration d'une équation de Riccati de la forme 

 suivante : 



dm I . ,, sin m 



ds - p 



OÙ -, - et s désicrnent les courbures et l'arc de la courbe ( C ). On sera donc 



conduit à une méthode générale de transtormation applicable a une courbe 

 quelconque (C), et permettant d'en déduire une suite illimitée de courbes nou- 

 velles. 



On se trouve ainsi en présence d'une série de problèmes analogues à ceux 

 cju'on rencontre dans l'étude des transformations des surfaces à courbure 



