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sentcra un quelconque des nombres m^, m... Je définis maintenant trois 

 fonctions numériques par les conditions suivantes : 



1° i|;(rt) sera la somme des diviseurs de n inférieurs à \«; toutefois, si n est carré, 



I ^ 

 on ajoutera le terme -y//i. 



2° x('0 sera la somme ^ ô( — i)^"^^', étendue à toutes les décompositions en fac- 

 teurs « = ôô,, avec ô<rj, ; toutefois, si n est carré, ■/(/() comprendra, en outre, le 

 terme -J n. 



2 



On a -^(/i) = ■|i(/i) pour n Impair; et /(«) =;—']/(«) pour « = 2 (mod^). 



rf + .f, 

 3° w(n) sera la somme 'Sd{—\) - , étendue à toutes les décompositions 



n — ddi, où d et a', sont de même parité, el d < f/,. Toutefois, si n est carré, (.)(«) 

 comprendra, en outre, le terme -y«( — i)*' 

 Pour 



2 



« ^ 2 ( mod ^4 ), (,>(/! ) ^ o; 



« = 3 ( mod 4 ), rji(ii )—.— '\i{n); 



«=i(mo(l4), (,)(ii) =^^{n); 



« = 4(mod8), w(/( ) =— 2 4'( 7- ) • 



Cela posé, on a les quatre formules générales qui suivent; 



(0 2.'"'[^) = ^~(-'> 



X—O 



Au premier membre, la sonmie porte sur tous les couples de minima im- 

 pairs, m', des classes positives, de Tordre propre, primitives ou non, de 



discriminant N; le symbole (^) est celui de Jacobi. Au second membre, 



la somme s'étend aux valeurs entières de j:^:: o, telles que la quantité sous le 

 signe oj soit positive. 



(2) V|,„'_,„|(-^)=:2(-l) ' y-/_(N_a'^). 



Au premier membre, la somme porte toujours sur les minima des classes 

 positives, de l'ordre propre, de discriminant N ; \t?ï — m\ désigne la valeur 

 absolue de m' — m. 



