SÉANCE DU ') MAI igo8. 907 



Les mêmes remarques s'appliquent aux doux dernières formules, à savoir 



(3) EI'"'-"'|(;ïï^) = ^(— )'"'21^-')'"^''-"'^' 



.|« 



(4) 2;(-'+"of^V-2i'«'--i(^) = (-o"""2+t^^-(^-^-^')'^- 



V ■ \ ■ ^ 



Ces formules donnent ainsi l'expression de chacune des quatre sommes 

 algébriques de minima 



à l'aide des deu.v seules fonctions numériques w(«) et 7_('0' puisque 

 ']/(2n -+- 1) est égal à y (2/1 -+- 1). 



Ajoutons que, si N est un carré impair, /r, parmi les réduites propres de 

 discriminant N figure n(.x--\-y-), dont les minima sont m^ = m,=: n-^ 

 m = an : les termes correspondant à cette réduite dans les premiers, 

 membres de nos formules doivent être divisés par 2. 



Vérifions, par exemple, la formule (i) pour N = 9. Les réduites (de 

 l'ordre pro[)re) de discriminant 9 sont (i, o, 9); (2, i, 5); (3, o, 3), cette 

 dernière ne devant être comptée que pour ;^, par ce qui précède. Les minima 



impairs /«,, rtin de ces formes sont respectivement i, g; 5, 5 ; 3, 3; et le 



3 3 . ■ 



premier membre de (i) est ainsi i + 9 + J + 5 — - — -> c'est-à-dire 17. 



Le second membre est 



2 w (9) -H 4(0 ( 8) -H 4 w (5) = 2 1+ - |-l-4[2]-+-4['] = '7. 



et la formule est vérifiée. 



IL Des relations précédentes on pcul di'duire quelques conséquences re- 

 lativement aux fonctions '\i, y, eu. 



Par exemple, si N = 2(mod4), les symboles (^^) et (^j sont de 



signes contraires, de sorte que ^'''*(-^)=o- Calculant cette somme 

 par (4), (i) et (2), on arrive à la formule suivante : 



< 



pour N ^ 2 (mod 4). 



