Io82 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ les fonctions ç ne contiennent pas les variables .v^, -r.,,, .. , x,,^, ni les 

 rapports ^- ^> •••> -^77^- Les relations (7) et (<S) forment un système 

 de // — I équations de Monge, comme le système (i). Nous y appliquerons 

 la méthode de M. Goursat. En posant -^ = a, j'écris la relation qui corres- 

 pond à la relation ( 2) sous la forme 



(9) ,""^' =pi + p.y- +ih ?3(-'i- y.) +■ ■ ■ + /'„ '■?/,(•'■.• y-), 



''■''\ 



ou encore sous la forme 



(m) /[.f, a, 93 (.r,, 5(), ...; cp„(.î-,. ai] — /', — /'.a — /';, 9:j(j.-,, 3() —...— /'„ o„ (.'•,. a) = o. 



Le premier membre, évidemment, est ce que nous avons appelé plus haut a. 

 .-). lin diflérentiant successivement la relation (10) par rapport à a, on 

 obtiendra le système intermédiaire (3). Je fais maintenant la remarque que 

 les n — ■-> dernières de ces relations ne renferment pas les quantités p^^p-^. 

 (iette remaïquc me conduit à faire Thypothèse f[u'on peut faire Félimina- 

 lion de a entre les relations ( 3) en remplaçant a par une fonction des quan- 

 tités a-,, /?.,, yj,, . . . , Pu dans la première, dans la deuxième et dans les « — 3 

 des autres relations du système (3). Nous aurons ainsi n — \ relations de 

 la forme suivante : 



()o-t do„ t)f df ()o, âf do„ 



P''^^'' lib '^ •■'^P"~àb^Ob~ô^,^ ~-~ i)o„ Ob -"• 



P^Ub^-^ -«' 



où /) désigne la fonction des quantités a-,, p^, .... />„ qui remplace la quan- 

 lilc' y.. 



(■). Donc les relations (11) forment le système associe, si Ton considère 

 les ./■,, .T.,, ..., x„ comme des ^ariables indépendaiiles, .r„+, comme une 

 fonction de ces n variables Gl p,, p.,, •••iPn comme des dérivées partielles 

 de .i'„4.| par rapport à ces variables. 



Pour oiitenir rinlégration du système [(7\(i^)| comme nous l'enlen- 

 (loiis, il sulfil (|ue le système (1 i) soit en involnlion, d'après ce qui précède. 



