SÉANCE DU -^.î MAI 1908. Io83 



7. Dcsij^nons par F,, F., ..., F„_, les premiers membres des rela- 

 tions (11). On voit immédiatement que loules les parenthèses (F^, F5), où 

 Y et peuvent preijdre toutes les valeurs i>, 3, . . ., /i — i, sont identique- 

 ment nulles, car on a identiquement 



— - = o, -; — =0 (/,■ = 2, 5, . . ., « — i; A = 2, 3, . . . , « — 1, /(,/« + i); 



'V'i "''^/- 



d'aulru part 



par conséquent, les parenthèses (F,, F^;. ) se réduisent aux expressions -v— ^; 



d'où l'on conclut (pic, /H)ur que le systrnie associé, dans le cas considéré, soit 

 en involution, il faut et il suffit qu'on ait identiquement 



(ra) -3 — = o. 



(7.r, 



8. Un e.vcmplc où les conditions (12) sont évidemment remplies est celui 

 dans lequel l'équation (7) est de la forme 



et les équations adjointes sont de la forme 



(.4) g = '^(£;) (^ = 3,4,. ..,«-.,«). 



9. La vérification des conditions (12) dans le cas où le système dont 

 il s'agit est le système [(i3), (i4)] est immédiate; car la fonction qui, d'après 

 noire hypothèse, remplacera la quantité a ne renfermera pas la variable o", 



et l'on aura, d'autre part, -j- = -j^-, le symbole a désignant la déri- 

 vation par rapport à a, la quantité .r, considérée comme constante. 

 Or la recherche d'un système qui, comme le système [(i3), (i4)] a la 

 propriété d'avoir un système associé qui est en involution, se ramène 

 à la recherche des solutions particulières d'un système d'équations aux 

 dérivées partielles. Pour préciser ce que nous voulons dire, prenons 

 l'équation (7) dans le cas où /i = 3. Alors les conditions (12) se ré- 

 duisent à une seule, y-' =0 et, comme troisième relation du système (11), 



