SÉANCE DU l5 JUIN 1908. 12/(7 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les formes bilinéaires. 

 Note de M. be Skgi'ier, pn'senlée par M. Jordan. 



1. a et '^ (''tant deux substitutions «-aires dans un champ s, on peut se 

 proposer de chercher les formes a = ï<7,7,.r, )-/, (\a\^o') k coefficients dans 3 

 telles que ^na = a, a étant la transposée de « (le cas [3 = a~' fournit toutes 

 les substitutions permutables à a). Pour que a existe, il faut et il suffit que 

 jB"' — 5£ et a — .y£ {i étant la matrice unité et s un paramètre) aient les 

 mêmes diviseurs élémentair.es. 



Supposons que s soit le champ A des nombres complexes ordinaires. 

 Prenons a et [i sous forme canonique. Soient 5,, ... les multiplicateurs de a, 

 /,, . . . ceux de [i. Soient /, = i^', t.,=zs.^\ ..., t.,_ = s~\ x étant minimum, 

 et supposons qu'il n'y ait pas d'autres multiplicateurs. Soient nij le nombre 

 des variables de lay" suite relative à 5,, 



yl, 



, = '«,,, > '",,,+1 = '«,/,+,/, > . . . = in,i^^,„+,i^., l'i qi = O/,. 



On peut supposer que la y'*' suite relative à ciiaque Si ou /, a w, variables. 

 Après la y'" suite relative à .?,(= s) plaçons maintenant lay'" relative à s.,, ..., 

 puis la j" relative à 5,., puis la (y-t-i)" relative as,, et soit alors x\ la 

 k" variable de la i" suite; plaçons de même les suites relatives à /,(= 0) ■••) 

 /y., et soit v^ la k'' variable de la i^ de ces suiles. Soit 



('■=Qp--i-l-i, •••. Q?; ./'=:n7-,-f-i, ..., Q,); 



Pour que a existe, il faut et il suffit ijue les | Aj^™"?! soient ^ o. A''.peut se 

 l'amener à volonté, soit à un premier type où la première colonne est nulle 

 sauf le dernier élément égal à i, soit à un second type où la première colonne 

 est composée d'unités (Jordax, J. M., (888 et i()o5). 



2. Astreignons maintenant a à l'une des conditions a = ±a, a = ^a, 

 a = a (a étant la conjuguée de «), a = [iJ«, et supposons (jue [i et a puissent 

 èlre canonisées par un même changement de variables si a = ± « ou 

 a = [3«, par des changements conjugués sï a ^= a ou a — [Bc/. /.es seules iioii- 



C. U., 1908, 1" Semestre. (T. CXLVI, N» 24. 1 l(^>4 



