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velles conditions pour l'existence de a sont que v. = i ou i, que ^ = a si 

 a = pc/, que [ï = a si a — ^a et que q^, soit pair dans les quatre ras suivants : 

 n\, pair avec a = a, .v/ = t ; m^^ impair avec a = — a, st — i] m^_ pair avec 

 a = aa, .9 = 1; /«y, impair avec a = aa, s = — \ (les conditions relatives à 

 â = ± a, rt = a« ont été trouvées tout autrement par Kronecker et M. Fro- 

 benius quand fi = a). 



Comme ar/a = a résulte de a = aa, et aaa = rt de a = ac/, on trouve 

 aisément ainsi toutes les solutions a de « = ar/ ou a — xa, même celles où 

 |a| = o, ce qui complète les recherches de M. Voss (S. A. M., l. X\^ I, 

 p. 211-272). 



.'>. On peut toujours annuler les ,l,p, où p^'y et, par suite, supposer 

 w = 1 . Pour a = ± a et a = a on arrive à des formes réduites analogues à 

 celles de M. Jordan pour a =^ a (■/. M., 1888). 



Soit a = aa. Si s — 1 avec m, = 2 a — i , on peut annuler tous les A" où 

 iz:/zj et les a'/, où /■ et / sont < [/.; la matrice des al\ où k = i, ..., [J- et 

 /= [jL, ..., ni, se réduit alors au premier type (à un facteur près). Si s =— 1 

 et m, = 2;j., on ])eut annuler les A'-' où i^j et les ajf^ où k < ;j. et /^ a; la 

 matrice des a'/^ où /■ rr^ i , . . ., a et / = a + i , . . ., /«, est alors (à un facteur 

 près) la somme de deux matrices d'ordre a, l'une du premier, l'autre du 

 second type. Dans tous les autres cas, on annulera les A'' où izj sauf les 

 A--'-'-'' qu'on réduit au premier type : les A'> où />_/' sont déterminés par 

 les autres d'après a = aa. 



Sia = 7.a^ on ohliont des résultats analogues, eu prenant toutefois as' 

 pour rt lorsque I ^1 — I . _ 



4 . Si S est quelcon(iue (je supposerai alors que ^= a si a — ± a ou a = ^a 

 et (pie ^ — y. s\a = à ona — [iâ), après la réduction d'une forme bilinéaire 

 jouant le rôle de A|'", réduction qui dépend de £, on est toujours ramené à 

 l'un des problèmes précédents dans le champ <il. 



;"). Le cas où a est une foruir (|uadralique iualt(''réc par a, 2 ayant le 

 module 2, se ramène au cas des foruios hermiliiuuK^s, sauf (pie celles des 

 conditions rt{^ = r/^') , + «£, , où ligure un élénn-nt de la diagonale sont 

 remplacées par d'autres. On voit alors facilement la forme du changement 

 de variables ipii canouise a; et la l'orme (pie preud y. [lermel d'appliquer de 

 suite le critère de M. Dickson à la démonstratiou du théorème de M. Jor- 

 dan (./. M., K)*)")) SIM- les substitutions paires, £ ayant l'ordre 2'', K :' i . 



