SÉANCE DU l5 iriN 1908. 1249 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l' équation aux dérivées partielles des 

 membranes ribrantes. Noie de M. S. Samei-evici, présentée, par 

 M. E. Picard. 



I. On connait rinl('"rêt (jui s'attache, en Physique mathématique, à 

 Téquation 



(ï) \u-\-l\{x,y)u = o {^=-^_ + -^}j- 



L'un des problèmes fondamentaux ([ui se posent est d'en chercher une 

 intégrale eontinue ainsi que ses dérivées premières dans un domaine fermé 

 simplement conne.re (W) et s' annulant sur sa frontière C. 



La fonction donnée A (a-, y) étant supposée /w^mVf dans ce domaine, le 

 problème a été résolu surtout par l(>s recherches de Schwarz et de 

 MM. Picard et Poincaré. Il a été établi que l'intégration de (i) dans les 

 conditions voulues n'est possible que pour une infinité discontinue de va- 

 leurs positives de A, les « conslantes caractéristiques », qu'on peut trouver 

 par un calcul régulier. 



Dans les recherches citées, l'hypothèse A(a:;,j)>o est essentielle. Il 

 n'existe, à ma connaissance, d'autre essai de s'affranchir de cette supposi- 

 tion restrictive que celui de M. Ma.son (Journal de Jordan, 1904)) qui) l><ir 

 certaines considérations de minimum, se borne simplement à démontrer 

 l'existence des constantes caractéristiques, sans nous apprendre à les cal- 

 culer effectivement. Or, en rattacliant cette question à la tliéorie des équa- 

 tions intégrales, j'ai pu (■■liniiner des raisonnements toute liypothèse sur le 

 signe de A(^, y). 



•2. Soient G(x,f; ç, r, ) la Jonction de (Ireen attachée au contour C, 

 et u„{a-,y) la fonction harmonique prenant sur C une succession donnée 

 de valeurs; rint('gralion de (i) moycniiaul la condition u = »„ (surC) est 

 ramenée à ré(piation de Fredhohn, 



(2) "(•'■,/) '- j /C.(,r,/;ç,r/)A(£,r()«(;, •/))(/;(:/// = //„(.(■,/). 



■ H) 



L'intégrale cherchée est tlonc une fonction méromorphe de A, dont les 

 pcMes se trouvent parmi les « constantes caractéristiques » de (i). On dé- 

 montre aisément que ces constantes sont réelles et que les pôles de u{x,y) 

 sont simples. 



