J25o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pour démontrer l'exisleiice effective et en nombre infini des constantes 

 caraclérisliques, soit, en mettant en évidence le paramètre, 



(3) u{-a',j;l) = «„(■'•,/) -t- /.",(x, y)-|->,2«2("f, j) -H- • • -H >" w„ (.r, r) + 



Les fonctions ii„( .v, y) s« calculent par les formules récurrentes 



(4) A^/„+ /V(.r, j) H„_,^o, »„ = osurC (/tr=l, 2, . . .)• 



Si nous démontrons cjue la nérie (3) est à convergence limitée, l'existence 

 d'au moins une constante caractéristique sera établie. Or, considérons la 

 fonction 



I'i("0=-- J/ A(.r, y) ii,(.v,f) u(j:,j; '/.)c/xdr. 



Elle est méromorphe et n'admet d'autres pôles que ceux de «(a-, -»'; A). 

 Développons-la autour de A = o : 



(.5) <!>(/) =2>.""'„, >v„= j j \{.r, y) ii„Lr, y) uj.r. y)d.i- dy. 



"il 



La foruude 



,..„.,= /y 



<>■'■ ) \0y 



du- dy 



montre que les constantes te à indice impair sont positives; on en conclut, 

 par le procédé de Schwarz, qu'on a 



< — <...< 



<. 



Ces inégalités prouvent que les séries (.))et(3) sont à convergence limitée. 

 ."{. Réciproquement, soient A, la « constante caractéristique » la plus petite 

 eu valeur absolue ( ou l'une d'elles ) et r, les intégrales correspondantes : 



A;, + >.,A(.r, 



:o, 



z,=.o sur G (( = 1, 2, p). 



1.(1 succension de rdtciirs le long de C étant quelconque, les séries (3) et (5) 

 divergent i>(>ur\'/.\ > [a, |. H suffit pour cela (pi'on n'ait pas 



/ j '^(■'■, y) ^-d-i', y) ii,{.f, y) d.r dy : 



" (I!) 



c es-l-à-dire 



f".^'/s = o, 



d_ 

 du 



désignant la dérivée suivant la normale intérieure à (\. 



